Questão 1 (2.5 pts) Use o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, onde
F=(y^2+z) i+(1+e^y^2) j+(y+ln (1+z^2)) k
e curva C está parametrizada por:
gamma(t)=(2 cos (t), 2 sen(t), 4-2 sen(t)), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralCFcdot dr
usando o teorema de Stokes, onde
F=(y^2+z),i+(1+e^y^2),j+l(y+ln(1+z^2)r),k
e C é a curva fechada dada por
gamma(t)=(2cos t,;2sen t,;4-2sen t), tin[0,2pi]
O conteúdo principal é o teorema de Stokes que transforma a integral de linha em integral de superfície do rotacional.

Passo 2

Note que C pertence ao plano
z = 4 - y,
pois y=2sen t e z=4-2sen t implicam z=4-y. Além disso, a projeção de C no plano xy é o disco
D: x^2+y^2<=4
Vamos escolher como superfície S o disco planar em z=4-y com partial S=C.

Passo 3

Pelo teorema de Stokes vale
integralCFcdot dr =integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS
Para orientar C e S de forma compatível, observamos que, visto de cima (eixo z positivo), gamma(t) gira no sentido anti-horário. Logo, escolhemos n com componente z>0.

Passo 4

Calculamos o rotacional nablatimesF. Se F=(P,Q,R), então
nablatimesF =l(Ry-Qz,,Pz-Rx,,Qx-Pyr)
Aqui
P=y^2+z, Q=1+e^y^2, R=y+ln(1+z^2)
Calculando derivadas,
Ry=1, Qz=0, Pz=1, Rx=0, Qx=0, Py=2y
Portanto
nablatimesF=(1,,1,,-2y)

Passo 5

Para o plano z=f(x,y)=4-y com orientação “para cima”, tem-se
n,dS =(-fx,,-fy,,1),dA =(0,1,1),dA,
onde dA é o elemento de área no disco D.

Passo 6

Fazendo o produto escalar e passando à integral sobre D, obtemos
(nablatimesF)cdotn =(1,1,-2y)cdot(0,1,1) =1-2y
Logo
integralCFcdot dr =integral duplaD(1-2y),dA

Passo 7

No disco Dcolon x^2+y^2<=4 vale
integral duplaD1,dA=área(D)=4pi, á
e por simetria
integral duplaDy,dA=0
Logo
integral duplaD(1-2y),dA =4pi-2cdot0 =4pi

Resposta

integralCFcdot dr=4pi

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