Questão 1 (2.5 pts) Use o teorema de Stokes para calcular
, onde
e curva
está parametrizada por:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o teorema de Stokes, onde
e
é a curva fechada dada por
O conteúdo principal é o teorema de Stokes que transforma a integral de linha em integral de superfície do rotacional.
Passo 2
Note que
pertence ao plano
pois
e
implicam
. Além disso, a projeção de
no plano
é o disco
Vamos escolher como superfície
o disco planar em
com
.
Passo 3
Pelo teorema de Stokes vale
Para orientar
e
de forma compatível, observamos que, visto de cima (eixo
positivo),
gira no sentido anti-horário. Logo, escolhemos
com componente
.
Passo 4
Calculamos o rotacional
. Se
, então
Aqui
Calculando derivadas,
Portanto
Passo 5
Para o plano
com orientação “para cima”, tem-se
onde
é o elemento de área no disco
.
Passo 6
Fazendo o produto escalar e passando à integral sobre
, obtemos
Logo
Passo 7
No disco
vale
e por simetria
Logo