Em cada item abaixo determine as antiderivadas.
6.
integral 10 raiz[2]x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a antiderivada de 10raiz[2]x^2,dx. Isso cai no tema de integrais envolvendo valor absoluto, pois raizx^2=|x|. Vamos usar esse fato e depois integrar por partes (casos de sinal).

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que raizx^2=|x|. Assim, o integrando fica 10|x|. Agora, como |x| muda de expressão se x for positivo ou negativo, a gente divide em dois casos.

Passo 3

Caso 1: x>=0. Temos |x|=x, então
10|x| = 10x
A integral é
integral 10x,dx = 10cdot x^22 = 5x^2 + C1

Passo 4

Caso 2: x<0. Nesse caso |x|=-x, logo
10|x| = 10(-x) = -10x
A integral vira
integral (-10x),dx = -10cdot x^22 = -5x^2 + C2

Passo 5

Podemos organizar essas duas expressão em forma de função em pedaços ou, de maneira mais elegante, escrever uma antiderivada única usando x|x|. De fato,
ddxl(5x|x|r) = 5l(|x| + x,sign(x)r) = 5(2|x|) = 10|x|

Passo 6

Portanto, uma fórmula unificada para a antiderivada é
F(x) = 5x|x| + C

Resposta

Uma antiderivada é
F(x)=5x|x|+C

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