Em cada item abaixo, determine as derivadas parciais indicadas.
) f(x, y)=e^yx cdot ln (x^2y), fy(x, y)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=e^yx;ln!l(x^2yr)
e pede a derivada parcial fy(x,y)=partial fpartial y. Vamos usar regras de diferenciação parcial, em particular a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos
f(x,y)=A(x,y);B(x,y),
onde
A(x,y)=e^yx e B(x,y)=ln!l(x^2yr)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de A e B em relação a y:
A derivada de A usa a cadeia em e^u com u=tfracyx:
partial Apartial y =ddue^u,partial upartial y =e^yx;1x
A derivada de B vem de
B(x,y)=ln(x^2)-ln(y),
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partial Bpartial y =0-1y =-1y

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
partial fpartial y =partial Apartial y,B + A,partial Bpartial y =1xe^yx ln!l(x^2yr) +e^yxl(-1yr)

Passo 5

Fatorando e^yx obtemos a forma simplificada:
partial fpartial y =e^yx l(1xln!l(tfracx^2yr)-1yr)

Resposta

fy(x,y) =e^yx l(1xln!l(tfracx^2yr)-1yr)

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