Determine o valor de cada integral abaixo (Se fizer sentido, calcule com a ordem invertida dos limites de integração):
integral0^1 integral0^x^2 x+2 y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integral0^x^2(x+2y),dy,dx
O conteúdo envolvido é a definição de integral iterada em duas variáveis. Vamos primeiro integrar em y e depois em x, e em seguida faremos uma verificação invertendo a ordem de integração.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
integral0^x^2(x+2y),dy
Como x é constante nessa integração,
integral (x+2y),dy = x,y + y^2
Avaliando de y=0 até y=x^2,
x,y + y^2|0^x^2 = xcdot x^2 + (x^2)^2 = x^3 + x^4

Passo 3

Agora integramos o resultado em x de 0 a 1:
integral0^1(x^3+x^4),dx = integral0^1x^3,dx + integral0^1x^4,dx = x^44|0^1 + x^55|0^1 = 14 + 15 = 920

Passo 4

(Verificação pela ordem invertida)
A região original é
0<= x<= 1, 0<= y<= x^2, \nequivalente a
0<= y<= 1, raizy<= x<= 1
Invertendo a ordem de integração, escrevemos
integral0^1integral0^x^2(x+2y),dy,dx = integral0^1integralraizy^1(x+2y),dx,dy
Na integral interna em x:
integralraizy^1(x+2y),dx =l[x^22+2y,xr]raizy^1 =12+2y-l(y2+2yraizyr) =1-y2+2y(1-raizy)
Em seguida,
integral0^1l(1-y2+2y(1-raizy)r)dy =12integral0^1(1-y)dy +2integral0^1y,dy -2integral0^1yraizy,dy
Cada termo dá
12l[y-y^22r]0^1 +2l[y^22r]0^1 -2l[y^5/25/2r]0^1 =14+1-45 =14+15 =920,
confirmando o mesmo resultado.

Resposta

920

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