(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas? (a) A cdot(B cdot C) (b) A times(B cdot C) (c) A cdot(B times C ) (d) A times(B times C) (e) A+(B cdot C) (f) A+(B times C) (g) 5+A (h) 5+(B cdot C) (i) 5+(B times C) (j) (A cdot B)+(B cdot C)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada expressão de vetores e escalares está bem definida segundo as regras da álgebra vetorial. Vamos usar:
– O produto escalar XcdotY exige dois vetores e produz um escalar.
– O produto vetorial XtimesY exige dois vetores e produz um vetor.
– A soma só é válida entre objetos do mesmo tipo (vetor + vetor ou escalar + escalar).

Passo 2

Note que
BcdotC é um escalar,
BtimesC é um vetor.

Passo 3

(a) Acdot(BcdotC): aqui BcdotC é escalar e não faz sentido calcular Acdot escalar. Logo é inválido.
(b) Atimes(BcdotC): mesma falha, produto vetorial com escalar é indefinido. Inválido.

Passo 4

(c) Acdot(BtimesC): produto vetorial BtimesC gera vetor, depois dot com A dá escalar (triplo escalar). Válido.
(d) Atimes(BtimesC): produto vetorial interno gera vetor, depois cross com A dá vetor (triplo vetorial). Válido.

Passo 5

(e) A+(BcdotC): soma vetor + escalar é indefinida. Inválido.
(f) A+(BtimesC): soma vetor + vetor é bem definida. Válido.

Passo 6

(g) 5+A: soma escalar + vetor é indefinida. Inválido.
(h) 5+(BcdotC): soma escalar + escalar é bem definida. Válido.
(i) 5+(BtimesC): soma escalar + vetor é indefinida. Inválido.

Passo 7

(j) (AcdotB)+(BcdotC): soma escalar + escalar é bem definida. Válido.

Resposta

As expressões corretas são (c), (d), (f), (h) e (j).
Nas inválidas ocorrem erros de tipo:
– (a),(b): tentam aplicar cdot ou times a um escalar.
– (e),(g),(i): tentam somar vetor com escalar.

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