Discutir a continuidade das seguintes funções:
h(x, y)=ln (x^2 y^2+4)

Passo 1

O enunciado pede para discutir a continuidade da função
h(x,y)=lnl(x^2y^2+4r)
O conteúdo envolvido é análise de funções de duas variáveis: determinar o domínio, reconhecer que polinômios são contínuos e usar o fato de que a função logaritmo natural é contínua em seu domínio (0,infty). Vamos então encontrar o domínio de h e aplicar a regra de composição de funções contínuas.

Passo 2

Determinamos o domínio de h exigindo que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo, ou seja,
x^2y^2+4>0
Como x^2y^2>=0 para todo (x,y), temos
x^2y^2+4>=4>0
Logo, não há restrição: o domínio de h é todo R^2.

Passo 3

Sabemos que
  1. A função (x,y)mapsto x^2y^2+4 é um polinômio em x e y, portanto contínua em R^2.
  2. A função tmapstoln(t) é contínua em (0,infty).
    Como para todo (x,y) temos x^2y^2+4>0, o composto
(x,y);mapsto;lnl(x^2y^2+4r)
é contínuo em todo o seu domínio, que é R^2.

Resposta

A função h(x,y)=lnl(x^2y^2+4r) é contínua em todo R^2.

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