Para cada item abaixo, determine a direção de máxima variação e uma direção de variação nula para a função a partir do ponto dado.
b) f(x, y)=xraizx^2+y^2, ponto P0(1,2).

Passo 1

Então, vamos lá! Temos a função f(x, y) = xraizx^2 + y^2 e o ponto P0(1, 2) . Nossa missão é descobrir duas coisas:
  1. A direção de máxima variação dessa função no ponto dado.
  2. Uma direção onde a função não varia nada, ou seja, variação nula.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e direções tangentes em funções de várias variáveis. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função f(x, y) . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e sua magnitude indica a taxa de variação nessa direção. Para calcular o gradiente, precisamos das derivadas parciais de f em relação a x e y .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x . Usando a regra do quociente e a regra da cadeia, temos:
partial fpartial x = raizx^2 + y^2 cdot 1 - x cdot xraizx^2 + y^2x^2 + y^2 = y^2(x^2 + y^2)^3/2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y :
partial fpartial y = 0 cdot raizx^2 + y^2 - x cdot yraizx^2 + y^2x^2 + y^2 = -xy(x^2 + y^2)^3/2

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, o gradiente de f é:
nabla f = ( y^2(x^2 + y^2)^3/2, -xy(x^2 + y^2)^3/2 )
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto P0(1, 2) .

Passo 6

Substituindo x = 1 e y = 2 no gradiente:
nabla f(1, 2) = ( 2^2(1^2 + 2^2)^3/2, -1 cdot 2(1^2 + 2^2)^3/2 ) = ( 4(1 + 4)^3/2, -2(1 + 4)^3/2 )
(1 + 4)^3/2 = 5^3/2 = raiz5^3 = raiz125 = 5raiz5
Então,
nabla f(1, 2) = ( 45raiz5, -25raiz5 ) = ( 45raiz5, -25raiz5 )

Passo 7

A direção de máxima variação é exatamente a direção do gradiente. Portanto, a direção de máxima variação no ponto P0(1, 2) é dada pelo vetor gradiente que encontramos:
umáx = ( 45raiz5, -25raiz5 ) á

Passo 8

Para encontrar uma direção de variação nula, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular ao gradiente. Isso significa que o produto escalar entre esse vetor e o gradiente deve ser zero. Vamos chamar esse vetor de v = (a, b) .
v cdot nabla f = a cdot 45raiz5 + b cdot ( -25raiz5 ) = 0
Resolvendo:
4a5raiz5 - 2b5raiz5 = 0 implies 4a - 2b = 0 implies 2a = b
Então, uma direção de variação nula pode ser qualquer vetor que satisfaça b = 2a . Por exemplo, v = (1, 2) .

Resposta

A direção de máxima variação em P0(1, 2) é ( 45raiz5, -25raiz5 ) e uma direção de variação nula é (1, 2) .

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