Para cada item abaixo, determine a direção de máxima variação e uma direção de variação nula para a função a partir do ponto dado.
b)
, ponto
.
b)
Passo 1
Então, vamos lá! Temos a função
e o ponto
. Nossa missão é descobrir duas coisas:
- A direção de máxima variação dessa função no ponto dado.
- Uma direção onde a função não varia nada, ou seja, variação nula.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e direções tangentes em funções de várias variáveis. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e sua magnitude indica a taxa de variação nessa direção. Para calcular o gradiente, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra do quociente e a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, o gradiente de
é:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto
.
Passo 6
Substituindo
e
no gradiente:
Então,
Passo 7
A direção de máxima variação é exatamente a direção do gradiente. Portanto, a direção de máxima variação no ponto
é dada pelo vetor gradiente que encontramos:
Passo 8
Para encontrar uma direção de variação nula, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular ao gradiente. Isso significa que o produto escalar entre esse vetor e o gradiente deve ser zero. Vamos chamar esse vetor de
.
Resolvendo:
Então, uma direção de variação nula pode ser qualquer vetor que satisfaça
. Por exemplo,
.
Resposta
A direção de máxima variação em
é
e uma direção de variação nula é
.