Use integrais duplas para encontrar a área da região dada:
a) A região dentro da cardióide r=2(1+sen theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área da região dentro da cardióide dada pela equação r = 2(1 + sin theta) usando integrais duplas. Isso envolve trabalhar com coordenadas polares e entender como calcular áreas usando integrais nesse sistema. Vamos precisar lembrar da fórmula da área em coordenadas polares e como configurar os limites de integração para a cardióide.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula para a área A é:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Aqui, r é a função que descreve a curva, e alpha e beta são os limites de theta que cobrem toda a região que queremos calcular.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para theta . Para uma cardióide que é simétrica e completa, theta varia de 0 a 2pi . Isso porque, ao variar theta de 0 a 2pi , percorremos toda a volta da cardióide.

Passo 4

Vamos substituir a função r na fórmula da área e integrar. Primeiro, elevamos r ao quadrado:
r^2 = [2(1 + sin theta)]^2 = 4(1 + 2sin theta + sin^2 theta)
Então, a área fica:
A = 12 integral0^2pi 4(1 + 2sin theta + sin^2 theta) , dtheta = 2 integral0^2pi (1 + 2sin theta + sin^2 theta) , dtheta
Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
  2. integral0^2pi 2sin theta , dtheta = 0 (porque a integral de sin theta em um período completo é zero)
  3. integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi (usamos a identidade sin^2 theta = 1 - cos 2theta2 )
Somando tudo:
A = 2 ( 2pi + 0 + pi ) = 2 times 3pi = 6pi

Resposta

A área da região dentro da cardióide r = 2(1 + sin theta) é 6pi unidades de área.

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