Use integrais duplas para encontrar a área da região dada:
a) A região dentro da cardióide
.
a) A região dentro da cardióide
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área da região dentro da cardióide dada pela equação
usando integrais duplas. Isso envolve trabalhar com coordenadas polares e entender como calcular áreas usando integrais nesse sistema. Vamos precisar lembrar da fórmula da área em coordenadas polares e como configurar os limites de integração para a cardióide.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula para a área
é:
Aqui,
é a função que descreve a curva, e
e
são os limites de
que cobrem toda a região que queremos calcular.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
. Para uma cardióide que é simétrica e completa,
varia de
a
. Isso porque, ao variar
de
a
, percorremos toda a volta da cardióide.
Passo 4
Vamos substituir a função
na fórmula da área e integrar. Primeiro, elevamos
ao quadrado:
Então, a área fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
-
-
(porque a integral de em um período completo é zero) -
(usamos a identidade )
Somando tudo:
Resposta
A área da região dentro da cardióide
é
unidades de área.