Para cada item abaixo, determine a direção de máxima variação e uma direção de variação nula para a função a partir do ponto dado.
f)
, ponto
.
f)
Passo 1
Então, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo multivariável. A função é
e o ponto de interesse é
. Vamos descobrir duas coisas: a direção onde a função aumenta mais rapidamente a partir desse ponto (direção de máxima variação) e uma direção onde a variação é zero (direção de variação nula). Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e o gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a cada uma das variáveis
,
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo as outras constantes.
A função é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
( ):
- Derivada parcial em relação a
( ):
- Derivada parcial em relação a
( ):
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função no ponto
. O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais e aponta na direção de máxima variação da função.
Primeiro, avaliamos as derivadas parciais no ponto
:
-
em :
-
em :
-
em :
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
A direção de máxima variação da função é dada pelo gradiente normalizado, ou seja, transformamos o gradiente em um vetor unitário.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Agora, normalizamos o gradiente:
Passo 5
Para encontrar uma direção de variação nula, precisamos de um vetor que seja perpendicular ao gradiente. Isso significa que o produto escalar entre esse vetor e o gradiente deve ser zero.
Vamos supor que a direção de variação nula seja
. Então:
Podemos escolher valores para
e
que satisfaçam essa relação. Por exemplo, se
, então
. E
pode ser qualquer valor, digamos zero.
Então, uma direção de variação nula pode ser:
Resposta
A direção de máxima variação da função no ponto
é aproximadamente
e uma direção de variação nula é
.