Para cada item abaixo, determine a direção de máxima variação e uma direção de variação nula para a função a partir do ponto dado.
f) f(x, y, z)=y-zx+y, ponto P0(1,1,-1).

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo multivariável. A função é e o ponto de interesse é . Vamos descobrir duas coisas: a direção onde a função aumenta mais rapidamente a partir desse ponto (direção de máxima variação) e uma direção onde a variação é zero (direção de variação nula). Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e o gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função f(x, y, z) = y - zx + y em relação a cada uma das variáveis fx = partialpartial x ( y - zx + y ) = -(y - z)(x + y)^2 , fy = partialpartial y ( y - zx + y ) = (x + y)(1) - (y - z)(1)(x + y)^2 = x + y - y + z(x + y)^2 = x + z(x + y)^2 e fz = partialpartial z ( y - zx + y ) = -1x + y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo as outras constantes.
A função é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a ( ):
  1. Derivada parcial em relação a ( ):
  1. Derivada parcial em relação a ( ):

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função no ponto fx(1, 1, -1) = -(1 - (-1))(1 + 1)^2 = -24 = -0,5 . O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais e aponta na direção de máxima variação da função.
Primeiro, avaliamos as derivadas parciais no ponto fy(1, 1, -1) = 1 + (-1)(1 + 1)^2 = 04 = 0 :
  1. fz(1, 1, -1) = -11 + 1 = -12 = -0,5 em nabla f(P0) = ( -0,5, 0, -0,5 ) :
  1. em :
  1. em :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A direção de máxima variação da função é dada pelo gradiente normalizado, ou seja, transformamos o gradiente em um vetor unitário.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
| nabla f(P0) | = raiz(-0,5)^2 + 0^2 + (-0,5)^2 = raiz0,25 + 0 + 0,25 = raiz0,5 approx 0,7071
Agora, normalizamos o gradiente:
Direção de máxima variação = nabla f(P0)| nabla f(P0) | = ( -0,50,7071, 00,7071, -0,50,7071 ) approx ( -0,7071, 0, -0,7071 ) çãáçã

Passo 5

Para encontrar uma direção de variação nula, precisamos de um vetor que seja perpendicular ao gradiente. Isso significa que o produto escalar entre esse vetor e o gradiente deve ser zero.
Vamos supor que a direção de variação nula seja nabla f(P0) cdot v = (-0,5) cdot a + 0 cdot b + (-0,5) cdot c = -0,5a - 0,5c = 0 . Então:
-0,5a - 0,5c = 0 implies a + c = 0 implies c = -a
v = (1, 0, -1)
Podemos escolher valores para e que satisfaçam essa relação. Por exemplo, se , então . E pode ser qualquer valor, digamos zero.
Então, uma direção de variação nula pode ser:

Resposta

A direção de máxima variação da função no ponto é aproximadamente e uma direção de variação nula é .

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