Quando uma função polinomial do primeiro grau verifica: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) ? Esta propriedade vale ou não para:
b) f(x)=2 x^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=2x^3
satisfaz a propriedade
f(x1+x2) ;=; f(x1) ;+; f(x2)
Essa propriedade é a aditividade de f. Vamos testar isso diretamente.

Passo 2

Antes de testar o caso concreto, vale lembrar que uma função polinomial de primeiro grau f(x)=ax+b satisfaz
f(x1+x2) = a(x1+x2) + b = ax1+ax2+b
enquanto
f(x1) + f(x2) = (ax1+b) + (ax2+b) = ax1+ax2+2b
Logo, só há igualdade para todos x1,x2 se e somente se b=0, isto é, f(x)=ax.

Passo 3

Agora aplicamos isso a f(x)=2x^3. Calculamos primeiro
f(x1+x2) =2,(x1+x2)^3 =2l(x1^3+3x1^2x2+3x1x2^2+x2^3r) =2x1^3+6x1^2x2+6x1x2^2+2x2^3

Passo 4

Por outro lado,
f(x1)+f(x2) =2x1^3+2x2^3
Subtraindo, obtemos
f(x1+x2)-l(f(x1)+f(x2)r) =6x1x2(x1+x2),
que não é zero para escolhas genéricas de x1,x2. Logo a aditividade falha.

Resposta

A propriedade não vale para f(x)=2x^3.

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