Em cada item abaixo, determine a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola dada pela equação:
x=-y^{2} / 8

Passo 1

O enunciado dá a parábola descrita pela equação x=-\dfrac{y^{2}}{8} e pede quatro coisas:
  • a equação reduzida (forma canônica) da parábola;
  • o vértice;
  • o foco;
  • uma equação da diretriz;
  • uma equação do eixo da parábola.
As informações relevantes fornecidas são apenas a equação x=-\dfrac{y^{2}}{8}.

Passo 2

Colocar a equação numa forma mais habitual para parábolas horizontais. Multiplicando ambos os lados por 8 obtemos
8x=-y^{2}.
Reescrevendo,
y^{2}=-8x.
Esta é a forma já parecida com a forma canônica para parábolas com eixo horizontal.

Passo 3

Lembrando a forma canônica de uma parábola horizontal: para vértice em (h,k) e parâmetro p vale
(y-k)^{2}=4p(x-h).
Aqui a parábola tem vértice em (h,k)=(0,0) (pois não há termos (y-k) nem (x-h) deslocando a origem) e nossa equação é
y^{2} = -8x = 4p(x-0).
Comparando os coeficientes obtemos
4p = -8 \quad\Rightarrow\quad p = -2.
Explicação do que é p: p é a distância algébrica do vértice ao foco ao longo do eixo da parábola. O sinal de p indica a direção em que a parábola abre: p<0 significa que ela abre para x negativo (para a esquerda).

Passo 4

Determinar o vértice. Como já notei ao comparar com a forma canônica, o vértice é
\text{vértice} = (h,k) = (0,0).é
Breve explicação: quando a equação está em (y-k)^{2}=4p(x-h), o par (h,k) é o ponto onde a parábola “muda de direção” — o vértice.

Passo 5

Determinar o foco. Para forma (y-k)^{2}=4p(x-h) o foco é o ponto (h+p,k). Assim, com h=0, k=0, p=-2,
\text{foco} = (h+p,k) = (0+(-2),0) = (-2,0).
Comentário: como p=-2, o foco fica duas unidades à esquerda do vértice.

Passo 6

Determinar a diretriz. Para a forma (y-k)^{2}=4p(x-h) a diretriz é a reta vertical
x = h - p.
Substituindo h=0 e p=-2 obtemos
\text{diretriz: } x = 0 - (-2) = 2,
ou seja, a diretriz é x=2. Intuição: a diretriz fica do lado oposto do foco em relação ao vértice, à distância |p|.

Passo 7

Determinar o eixo da parábola. Como a parábola é horizontal (variável y ao quadrado), o eixo é a reta horizontal que passa pelo vértice, ou seja
\text{eixo: } y = k = 0.

Passo 8

Verificação rápida pela propriedade geométrica: para um ponto genérico (x,y) da parábola, a distância ao foco (-2,0) deve ser igual à distância à diretriz x=2. Fazendo a conta:
\sqrt{(x+2)^{2}+y^{2}} = |x-2|.
Ao elevar ao quadrado e simplificar obtém-se
(x+2)^{2}+y^{2}=(x-2)^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=-8x,
o que recupera a equação dada — portanto tudo está consistente.

Resposta

Equação reduzida: y^{2}=-8x
Vértice: (0,0)
Foco: (-2,0)
Diretriz: x=2
Eixo: y=0

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