Em cada item abaixo, determine a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola dada pela equação:
Passo 1
O enunciado dá a parábola descrita pela equação
e pede quatro coisas:
- a equação reduzida (forma canônica) da parábola;
- o vértice;
- o foco;
- uma equação da diretriz;
- uma equação do eixo da parábola.
As informações relevantes fornecidas são apenas a equação
.
Passo 2
Colocar a equação numa forma mais habitual para parábolas horizontais. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Reescrevendo,
Esta é a forma já parecida com a forma canônica para parábolas com eixo horizontal.
Passo 3
Lembrando a forma canônica de uma parábola horizontal: para vértice em
e parâmetro
vale
Aqui a parábola tem vértice em
(pois não há termos
nem
deslocando a origem) e nossa equação é
Comparando os coeficientes obtemos
Explicação do que é
:
é a distância algébrica do vértice ao foco ao longo do eixo da parábola. O sinal de
indica a direção em que a parábola abre:
significa que ela abre para
negativo (para a esquerda).
Passo 4
Determinar o vértice. Como já notei ao comparar com a forma canônica, o vértice é
Breve explicação: quando a equação está em
, o par
é o ponto onde a parábola “muda de direção” — o vértice.
Passo 5
Determinar o foco. Para forma
o foco é o ponto
. Assim, com
,
,
,
Comentário: como
, o foco fica duas unidades à esquerda do vértice.
Passo 6
Determinar a diretriz. Para a forma
a diretriz é a reta vertical
Substituindo
e
obtemos
ou seja, a diretriz é
. Intuição: a diretriz fica do lado oposto do foco em relação ao vértice, à distância
.
Passo 7
Determinar o eixo da parábola. Como a parábola é horizontal (variável
ao quadrado), o eixo é a reta horizontal que passa pelo vértice, ou seja
Passo 8
Verificação rápida pela propriedade geométrica: para um ponto genérico
da parábola, a distância ao foco
deve ser igual à distância à diretriz
. Fazendo a conta:
Ao elevar ao quadrado e simplificar obtém-se
o que recupera a equação dada — portanto tudo está consistente.
Resposta
Equação reduzida:
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Eixo:
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Eixo: