Pede-se: (i) encontrar todas as soluções pelo método de Gauss-Jordan; (ii) classificar o sistema (se é possível e determinado, possível indeterminado ou impossível).]
Passo 2
Breve aula sobre o Método de Gauss-Jordan (sem pular etapas):
Objetivo: transformar a matriz aumentada do sistema numa forma reduzida por linhas (forma reduzida por linhas com pivôs iguais a 1 e zeros em toda a coluna do pivô), de modo que as equações resultantes sejam fáceis de ler.
Operações elementares permitidas (sem alterar o conjunto de soluções):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por uma constante não nula;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Notação: a matriz aumentada reúne os coeficientes e o termo independente numa única matriz. Depois de reduzir, lê-se as equações correspondentes às linhas.
Se uma linha acabar sendo [0\;0\;\dots\;0\mid b] com b\neq0, o sistema é impossível. Se não houver tal contradição e o número de pivôs for menor que o número de incógnitas, há variáveis livres e infinita família de soluções (sistema possível indeterminado). Se houver pivô em cada coluna de incógnita (mesmo número de incógnitas e pivôs) o sistema é (se consistente) possível determinado.
Passo 3
Formo a matriz aumentada do sistema (colocando as constantes à direita):
Agora uso a segunda linha como pivô (já tem 1 na posição de pivô). Elimino os outros elementos na coluna 2 (tanto acima quanto abaixo) para alcançar a forma reduzida:
Eliminar acima: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Calculos para R_1:
Interpreto a matriz reduzida como um sistema de equações:
Da primeira linha: \;1\cdot x +0\cdot y +1\cdot z -2\cdot t =0, ou seja
x+z-2t=0.
Da segunda linha: \;0\cdot x +1\cdot y -2\cdot z +2\cdot t =1, ou seja
y-2z+2t=1.
A terceira linha é 0=0, que não traz restrição.
Como temos quatro incógnitas (x,y,z,t) e apenas dois pivôs (coluna 1 e coluna 2), as variáveis correspondentes às colunas sem pivô são livres. Aqui as colunas sem pivô são as colunas 3 (z) e 4 (t). Portanto escolhemos parâmetros para as variáveis livres:
Seja \;z=s\; e \;t=r\;, onde s,r\in\mathbb{R}.
Agora resolvo as incógnitas correspondentes aos pivôs em função de s,r:
De x+z-2t=0 segue
x = -z + 2t = -s + 2r.
De y-2z+2t=1 segue
y = 1 + 2z - 2t = 1 + 2s - 2r.
Passo 7
Escrevo a solução geral de forma organizada. Usando os parâmetros s e r:
\begin{cases} x = -s + 2r,\\[4pt] y = 1 + 2s - 2r,\\[4pt] z = s,\\[4pt] t = r, \end{cases}\qquad s,r\in\mathbb{R}.
Forma vetorial (útil para visualizar espaço de soluções):
A matriz reduzida não apresentou linha do tipo [0\;0\;0\;0\mid b] com b\neq0, portanto o sistema é consistente (possui solução).
O posto da matriz dos coeficientes é 2 (dois pivôs) e o número de incógnitas é 4, logo há 4-2=2 variáveis livres. Portanto o sistema tem infinitas soluções.
Em terminologia usual: é um sistema possível indeterminado (ou seja, compatível indeterminado).
Resposta
\displaystyle x=-s+2r,\quad y=1+2s-2r,\quad z=s,\quad t=r,\quad s,r\in\mathbb{R}.\n
Sistema possível indeterminado (infinitas soluções; posto =2).