Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left{ \begin{array}{l}x+2 y-3 z+2 t=2 \\ 2 x+5 y-8 z+6 t=5, \\ 3 x+4 y-5 z+2 t=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando o Método de Gauss-Jordan e classificá-lo. O sistema dado é:
\begin{cases} x+2y-3z+2t=2,\\[4pt] 2x+5y-8z+6t=5,\\[4pt] 3x+4y-5z+2t=4. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Variáveis desconhecidas: x,y,z,t (quatro incógnitas).
  • Três equações lineares.
  • Pede-se: (i) encontrar todas as soluções pelo método de Gauss-Jordan; (ii) classificar o sistema (se é possível e determinado, possível indeterminado ou impossível).]

Passo 2

Breve aula sobre o Método de Gauss-Jordan (sem pular etapas):
  • Objetivo: transformar a matriz aumentada do sistema numa forma reduzida por linhas (forma reduzida por linhas com pivôs iguais a 1 e zeros em toda a coluna do pivô), de modo que as equações resultantes sejam fáceis de ler.
  • Operações elementares permitidas (sem alterar o conjunto de soluções):
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por uma constante não nula;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Notação: a matriz aumentada reúne os coeficientes e o termo independente numa única matriz. Depois de reduzir, lê-se as equações correspondentes às linhas.
  • Se uma linha acabar sendo [0\;0\;\dots\;0\mid b] com b\neq0, o sistema é impossível. Se não houver tal contradição e o número de pivôs for menor que o número de incógnitas, há variáveis livres e infinita família de soluções (sistema possível indeterminado). Se houver pivô em cada coluna de incógnita (mesmo número de incógnitas e pivôs) o sistema é (se consistente) possível determinado.

Passo 3

Formo a matriz aumentada do sistema (colocando as constantes à direita):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -3 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 5 & -8 & 6 & 5\\[4pt] 3 & 4 & -5 & 2 & 4 \end{array}\right].
Vou aplicar operações de linha para obter a forma reduzida por linhas.]

Passo 4

Primeiro uso a primeira linha como pivô ( 1 já é conveniente). Elimino os elementos abaixo do pivô na coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
    Calculo cada entrada de R_2:
\begin{array}{l} 2-2\cdot1=0,\\[4pt] 5-2\cdot2=1,\\[4pt] -8-2\cdot(-3)=-8+6=-2,\\[4pt] 6-2\cdot2=6-4=2,\\[4pt] 5-2\cdot2=5-4=1. \end{array}
Logo R_2=[0\;1\;-2\;2\mid1].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
    Calculo cada entrada de R_3:
\begin{array}{l} 3-3\cdot1=0,\\[4pt] 4-3\cdot2=4-6=-2,\\[4pt] -5-3\cdot(-3)=-5+9=4,\\[4pt] 2-3\cdot2=2-6=-4,\\[4pt] 4-3\cdot2=4-6=-2. \end{array}
Logo R_3=[0\;-2\;4\;-4\mid-2].
A matriz agora ficou:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -3 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 4 & -4 & -2 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora uso a segunda linha como pivô (já tem 1 na posição de pivô). Elimino os outros elementos na coluna 2 (tanto acima quanto abaixo) para alcançar a forma reduzida:
  • Eliminar acima: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
    Calculos para R_1:
\begin{array}{l} 1-2\cdot0=1,\\[4pt] 2-2\cdot1=0,\\[4pt] -3-2\cdot(-2)=-3+4=1,\\[4pt] 2-2\cdot2=2-4=-2,\\[4pt] 2-2\cdot1=2-2=0. \end{array}
Então R_1=[1\;0\;1\;-2\mid0].
  • Eliminar abaixo: R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2.
    Calculos para R_3:
\begin{array}{l} 0+2\cdot0=0,\\[4pt] -2+2\cdot1=0,\\[4pt] 4+2\cdot(-2)=4-4=0,\\[4pt] -4+2\cdot2=-4+4=0,\\[4pt] -2+2\cdot1=-2+2=0. \end{array}
Então R_3=[0\;0\;0\;0\mid0].
A matriz agora em forma reduzida por linhas (já que as colunas de pivô têm zeros em todas as outras linhas) é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpreto a matriz reduzida como um sistema de equações:
  • Da primeira linha: \;1\cdot x +0\cdot y +1\cdot z -2\cdot t =0, ou seja
x+z-2t=0.
  • Da segunda linha: \;0\cdot x +1\cdot y -2\cdot z +2\cdot t =1, ou seja
y-2z+2t=1.
  • A terceira linha é 0=0, que não traz restrição.
Como temos quatro incógnitas ( x,y,z,t) e apenas dois pivôs (coluna 1 e coluna 2), as variáveis correspondentes às colunas sem pivô são livres. Aqui as colunas sem pivô são as colunas 3 ( z) e 4 ( t). Portanto escolhemos parâmetros para as variáveis livres:
  • Seja \;z=s\; e \;t=r\;, onde s,r\in\mathbb{R}.
Agora resolvo as incógnitas correspondentes aos pivôs em função de s,r:
  • De x+z-2t=0 segue
x = -z + 2t = -s + 2r.
  • De y-2z+2t=1 segue
y = 1 + 2z - 2t = 1 + 2s - 2r.

Passo 7

Escrevo a solução geral de forma organizada. Usando os parâmetros s e r:
\begin{cases} x = -s + 2r,\\[4pt] y = 1 + 2s - 2r,\\[4pt] z = s,\\[4pt] t = r, \end{cases}\qquad s,r\in\mathbb{R}.
Forma vetorial (útil para visualizar espaço de soluções):
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\\[2pt]t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}2\\[2pt]-2\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad s,r\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Classificação do sistema:
  • A matriz reduzida não apresentou linha do tipo [0\;0\;0\;0\mid b] com b\neq0, portanto o sistema é consistente (possui solução).
  • O posto da matriz dos coeficientes é 2 (dois pivôs) e o número de incógnitas é 4, logo há 4-2=2 variáveis livres. Portanto o sistema tem infinitas soluções.
  • Em terminologia usual: é um sistema possível indeterminado (ou seja, compatível indeterminado).

Resposta

\displaystyle x=-s+2r,\quad y=1+2s-2r,\quad z=s,\quad t=r,\quad s,r\in\mathbb{R}.\n
Sistema possível indeterminado (infinitas soluções; posto =2).

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