Em cada item abaixo, determine a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola dada pela equação:
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede que se determine:
- a equação reduzida (forma canônica) da parábola;
- o vértice;
- o foco;
- uma equação da diretriz;
- uma equação do eixo da parábola.
Informações dadas: a única equação é
. Não há outros dados numéricos fora dessa equação.
Passo 2
Vamos relembrar a forma padrão (reduzida) de uma parábola com eixo vertical (paralela ao eixo
). A forma canônica é
onde:
-
é o vértice da parábola; -
é a distância algébrica do vértice até o foco (se a parábola abre para cima; se abre para baixo); - o foco tem coordenadas
; - a diretriz tem equação
; - o eixo de simetria é a reta
.
Explicando por que isso é assim (de forma simples):
- Definição geométrica: a parábola é o lugar geométrico dos pontos que têm a mesma distância ao foco e à diretriz.
- Se o foco for
e a diretriz , para um ponto genérico a condição distância ao foco = distância à diretriz dá:
Ao elevar ao quadrado e simplificar (assumindo
no lado apropriado para cancelar o valor absoluto) obtém-se exatamente
Por isso essa forma contém diretamente vértice, foco, diretriz e eixo.
Passo 3
Agora compare a equação dada
com a forma padrão
.
Escrevendo-a explícita na forma padrão:
Logo
,
e
. Portanto
Passo 4
Determinar o vértice:
- Pelas identidades acima, o vértice é
.
Passo 5
Determinar o foco:
- Fórmula do foco:
. - Substituindo
, , obtemos o foco
Passo 6
Determinar a diretriz:
- Fórmula da diretriz:
. - Com
e temos
ou seja a diretriz é
.
Passo 7
Determinar o eixo de simetria:
- Fórmula do eixo:
. - Como
, o eixo é a reta
Passo 8
Verificação rápida (confirmação didática, útil para prova):
- Tome o ponto
. Ele satisfaz a equação porque e . - Distância do ponto ao foco
: . - Distância do ponto à diretriz
: . - Como as distâncias coincidem, essa verificação confirma coerência entre foco/diretriz e a equação.
Resposta
Equação reduzida:
ou seja
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Eixo:
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Eixo: