Em cada item abaixo, determine a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola dada pela equação:
x^{2}=-4 y

Passo 1

O enunciado fornece a equação
x^{2}=-4y
e pede que se determine:
  • a equação reduzida (forma canônica) da parábola;
  • o vértice;
  • o foco;
  • uma equação da diretriz;
  • uma equação do eixo da parábola.
Informações dadas: a única equação é \;x^{2}=-4y\;. Não há outros dados numéricos fora dessa equação.

Passo 2

Vamos relembrar a forma padrão (reduzida) de uma parábola com eixo vertical (paralela ao eixo y). A forma canônica é
(x-h)^{2}=4p\,(y-k),
onde:
  • (h,k) é o vértice da parábola;
  • p é a distância algébrica do vértice até o foco (se p>0 a parábola abre para cima; se p<0 abre para baixo);
  • o foco tem coordenadas (h,\,k+p);
  • a diretriz tem equação y=k-p;
  • o eixo de simetria é a reta x=h.
Explicando por que isso é assim (de forma simples):
  • Definição geométrica: a parábola é o lugar geométrico dos pontos que têm a mesma distância ao foco e à diretriz.
  • Se o foco for (h,k+p) e a diretriz y=k-p, para um ponto genérico (x,y) a condição distância ao foco = distância à diretriz dá:
\sqrt{(x-h)^{2}+(y-(k+p))^{2}}=|y-(k-p)|.
Ao elevar ao quadrado e simplificar (assumindo y no lado apropriado para cancelar o valor absoluto) obtém-se exatamente
(x-h)^{2}=4p(y-k).
Por isso essa forma contém diretamente vértice, foco, diretriz e eixo.

Passo 3

Agora compare a equação dada \;x^{2}=-4y\; com a forma padrão (x-h)^{2}=4p(y-k).
Escrevendo-a explícita na forma padrão:
(x-0)^{2}=4p(y-0).
Logo h=0, k=0 e 4p=-4. Portanto
p=-1.

Passo 4

Determinar o vértice:
  • Pelas identidades acima, o vértice é (h,k)=(0,0).

Passo 5

Determinar o foco:
  • Fórmula do foco: (h,\,k+p).
  • Substituindo h=0, k=0, p=-1 obtemos o foco
(0,-1).

Passo 6

Determinar a diretriz:
  • Fórmula da diretriz: y=k-p.
  • Com k=0 e p=-1 temos
y=0-(-1)=1,
ou seja a diretriz é y=1.

Passo 7

Determinar o eixo de simetria:
  • Fórmula do eixo: x=h.
  • Como h=0, o eixo é a reta
x=0.

Passo 8

Verificação rápida (confirmação didática, útil para prova):
  • Tome o ponto (2,-1). Ele satisfaz a equação porque 2^{2}=4 e -4(-1)=4.
  • Distância do ponto ao foco (0,-1): \sqrt{(2-0)^{2}+(-1+1)^{2}}=\sqrt{4+0}=2.
  • Distância do ponto à diretriz y=1: |-1-1|=2.
  • Como as distâncias coincidem, essa verificação confirma coerência entre foco/diretriz e a equação.

Resposta

Equação reduzida: (x-0)^{2}=4(-1)(y-0) ou seja \,x^{2}=-4y\.
Vértice: (0,0)
Foco: (0,-1)
Diretriz: y=1
Eixo: x=0

Exercícios relacionados