e pede cinco quantidades:
(a) \det A calculado usando operações elementares sobre as linhas de A;
(b) \det A^{T};
(c) \det\bigl(A^{2}\bigr);
(d) \det\bigl(A^{-1}\bigr);
(e) \det(-A).
Também foram dadas implicitamente as dimensões: A é 4\times4. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Primeiro, algumas regras importantes sobre operações com linhas e determinantes — isso é necessário para fazer o cálculo passo a passo e entender por que podemos manipular a matriz sem perder controle do determinante.
Operação tipo I: trocar duas linhas troca o sinal do determinante. Se fizer uma troca, multiplica-se \det por -1.
Operação tipo II: somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha não altera o determinante. Ou seja, R_i\leftarrow R_i+kR_j mantém \det igual.
Operação tipo III: multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
Se A é invertível então \det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}.
\det(\lambda A)=\lambda^{n}\det(A) para An\times n. Em particular \det(-A)=(-1)^{n}\det(A).
Vou usar principalmente operações do tipo II (que não mudam o determinante) para triangularizar a matriz e, no fim, tomar produto dos elementos da diagonal superior.
Passo 3
Começo a eliminação gaussiana usando somente somas de múltiplos de linhas (operação tipo II), portanto o determinante permanece o mesmo durante todo esse processo.
Agora trabalho no subbloco 3\times3 formado pelas linhas 2–4 e colunas 2–4. O pivô atual é a_{22}=7. Usarei combinações lineares para zerar as entradas abaixo dele (coluna 2, linhas 3 e 4). Novamente, somas de múltiplos de uma linha em outra não alteram o determinante.
Para zerar a entrada -23 em R_3 (coluna 2), adiciono \dfrac{23}{7} vezes R_2 a R_3:
onde os asteriscos não importam para o determinante triangular.]
Passo 6
Quando uma matriz está em forma triangular superior, o determinante é o produto das entradas da diagonal. Durante todo o processo usei apenas operações do tipo II (somas de múltiplos de linhas), que não alteram o determinante. Portanto
\det A = 1 \cdot 7 \cdot \left(-\dfrac{6}{7}\right) \cdot \left(-\dfrac{29}{3}\right).