Em cada item abaixo, determine
\langle\vec{v}, \vec{u}\rangle, |\vec{v}|, |\vec{u}| , o cosseno do angulo entre \vec{v} e \vec{u} , a componente escalar de \vec{u} na direção de \vec{v} (isto é, \|\vec{u}\| \cos \theta, \operatorname{com} \thetaçãé o ângulo entre
\vec{v}
e
\vec{u}
).
(b) \vec{v}=(0,5,-3) e\vec{u}=(1,1,1)$.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{v}=(0,5,-3) e \vec{u}=(1,1,1) e pede:
  1. O produto escalar \langle \vec{v},\vec{u}\rangle.
  2. As normas \|\vec{v}\| e \|\vec{u}\|.
  3. O cosseno do ângulo entre \vec{v} e \vec{u}, usando
\cos\theta = \frac{\langle \vec{v},\vec{u}\rangle}{\|\vec{v}\|\;\|\vec{u}\|}.
  1. A componente escalar de \vec{u} na direção de \vec{v}, que é
\|\vec{u}\|\cos\theta = \frac{\langle \vec{v},\vec{u}\rangle}{\|\vec{v}\|}.

Passo 2

Calculamos o produto escalar por definição:
\langle \vec{v},\vec{u}\rangle = 0\cdot1 + 5\cdot1 + (-3)\cdot1 = 5 - 3 = 2.

Passo 3

As normas são dadas por \|\vec{x}\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}:
\|\vec{v}\| = \sqrt{0^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34},
\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.

Passo 4

O cosseno do ângulo é
\cos\theta = \frac{\langle \vec{v},\vec{u}\rangle}{\|\vec{v}\|\;\|\vec{u}\|} = \frac{2}{\sqrt{34}\,\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{102}}.

Passo 5

A componente escalar de \vec{u} na direção de \vec{v} é
\|\vec{u}\|\cos\theta = \sqrt{3}\,\frac{2}{\sqrt{102}} = \frac{2}{\sqrt{34}} \quad\bigl(\text{ou}\;\frac{\langle \vec{v},\vec{u}\rangle}{\|\vec{v}\|}\bigr).

Resposta

\langle \vec{v},\vec{u}\rangle = 2 \|\vec{v}\| = \sqrt{34} \|\vec{u}\| = \sqrt{3} \cos\theta = \frac{2}{\sqrt{102}}
Componente escalar de \vec{u} em \vec{v}: \frac{2}{\sqrt{34}}.

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