[ \mathbf{5 , 0} pontos] Prove que:
\binom{n+1}{r}=\binom{n}{r-1}+\binom{n}{r}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de Pascal para coeficientes binomiais:
\binom{n+1}{r} \;=\; \binom{n}{r-1} \;+\; \binom{n}{r}.
O conteúdo envolve combinatória básica: interpretação de \binom{N}{K} como o número de maneiras de escolher K objetos entre N. Vamos usar essa interpretação para dividir a contagem em dois casos.

Passo 2

Considere um conjunto S com n+1 elementos e fixe um elemento especial x\in S. O total de formas de escolher r elementos de S é exatamente \displaystyle \binom{n+1}{r}.

Passo 3

Agora separe as escolhas de r elementos em dois casos disjuntos:
  1. As seleções que incluem o elemento x.
  2. As seleções que não incluem o elemento x.

Passo 4

No caso 1, como já escolhemos x, falta escolher mais r-1 elementos dentre os n restantes. O número de maneiras é
\binom{n}{r-1}.

Passo 5

No caso 2, descartamos x e escolhemos todos os r elementos dentre os n restantes. O número de maneiras é
\binom{n}{r}.

Passo 6

Como os dois casos não se sobrepõem e cobrem todas as possibilidades, o total de escolhas é a soma dos dois resultados:
\binom{n+1}{r} \;=\; \binom{n}{r-1} \;+\; \binom{n}{r}.

Resposta

\binom{n+1}{r} = \binom{n}{r-1} + \binom{n}{r}.

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