[
pontos] Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade de Pascal para coeficientes binomiais:
O conteúdo envolve combinatória básica: interpretação de
como o número de maneiras de escolher
objetos entre
. Vamos usar essa interpretação para dividir a contagem em dois casos.
Passo 2
Considere um conjunto
com
elementos e fixe um elemento especial
. O total de formas de escolher
elementos de
é exatamente
.
Passo 3
Agora separe as escolhas de
elementos em dois casos disjuntos:
- As seleções que incluem o elemento
. - As seleções que não incluem o elemento
.
Passo 4
No caso 1, como já escolhemos
, falta escolher mais
elementos dentre os
restantes. O número de maneiras é
Passo 5
No caso 2, descartamos
e escolhemos todos os
elementos dentre os
restantes. O número de maneiras é
Passo 6
Como os dois casos não se sobrepõem e cobrem todas as possibilidades, o total de escolhas é a soma dos dois resultados: