Questão 2 (1.0 ponto). Calcule \iint_{B} x . y d x d y tal que B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1 ; y \leq x\right. e \left.x \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{B} x\,y \,dx\,dy
onde
B = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2\le1,\;y\le x,\;x\ge0\}.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares em integrais duplas e uso do jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
A condição x^2+y^2\le1 vira 0\le r\le1. A condição x\ge0 exige \cos\theta\ge0, ou seja
-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}.
A condição y\le x significa \tan\theta\le1, ou seja \theta\le\pi/4. Logo o ângulo varia de
-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando x\,y fica
(r\cos\theta)(r\sin\theta)=r^2\cos\theta\sin\theta,
e juntando com o jacobiano temos
x\,y\,dx\,dy = r^2\cos\theta\sin\theta\;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) = r^3\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Portanto
\iint_{B}x\,y\,dx\,dy =\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \int_{r=0}^{1}r^3\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em r:
\int_{0}^{1}r^3\,dr = \Bigl[\frac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Assim a integral fica
\frac{1}{4}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.

Passo 5

Para integrar \cos\theta\sin\theta usamos a substituição u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Logo
\int\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\int u\,du = \frac{u^2}{2} = \frac{\sin^2\theta}{2}.

Passo 6

Aplicando os limites de \theta:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\Bigl[\tfrac{\sin^2\theta}{2}\Bigr]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} =\frac{\sin^2(\pi/4)}{2}-\frac{\sin^2(-\pi/2)}{2} =\frac{\tfrac12}{2}-\frac{1}{2} =\frac{1}{4}-\frac{1}{2} =-\frac{1}{4}.
Multiplicando pelo fator \tfrac14 resulta
\frac{1}{4}\Bigl(-\frac{1}{4}\Bigr) = -\frac{1}{16}.

Resposta

-\frac{1}{16}

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