Em cada item abaixo, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para um operador linear T, sabendo que:
p(t)=(t-1)^3(t-2)^2 e m(t)=(t-1)(t-2)^2.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico
p(t)=(t-1)^3(t-2)^2
e o polinômio minimal
m(t)=(t-1)(t-2)^2
de um operador linear T. Queremos todas as formas canônicas de Jordan compatíveis com esses dados.

Passo 2

Identificamos os autovalores e suas multiplicidades algébricas e exponentes no minimal:
– Para lambda=1, alg,mu<=3 e no minimal o expoente de (t-1) é 1. Isso obriga que todos os blocos de Jordan em lambda=1 tenham tamanho <=1. Como a soma dos tamanhos deve dar 3, só pode haver três blocos 1times1.

Passo 3

– Para lambda=2, alg,mu<=2 e no minimal o expoente de (t-2) é 2. Logo o maior bloco de Jordan em lambda=2 tem tamanho exatamente 2. Como a soma dos tamanhos tem de ser 2, isso determina um único bloco 2times2.

Passo 4

Concluímos que não há outra escolha possível: a forma canônica de Jordan de T é única, com três blocos triviais em lambda=1 e um bloco de tamanho 2 em lambda=2.

Resposta

J=diagl(J1(1),,J1(1),,J1(1),,J2(2)r),
onde cada J1(1) é l[1r] e J2(2)=2&10&2.

Exercícios relacionados