Em cada item abaixo, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para um operador linear T, sabendo que:
p(t)=(t-2)^5 e m(t)=(t-2)^2.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T cuja característica é
p(t)=(t-2)^5
e cujo polinômio minimal é
m(t)=(t-2)^2
Estamos no conteúdo de forma canônica de Jordan: temos apenas um autovalor lambda=2 de multiplicidade algébrica 5, e o expoente 2 em m(t) indica que o maior bloco de Jordan tem tamanho 2.

Passo 2

Para montar a forma de Jordan precisamos repartir a dimensão total 5 em blocos de tamanho máximo 2. Chamemos k o número de blocos de tamanho 2 e l o número de blocos de tamanho 1. Então vale
2k + l = 5,
com k,l>=0 inteiros.

Passo 3

Resolvendo 2k + l = 5 em não negativos, obtemos as opções
(k,l)=(0,5),;(1,3),;(2,1)

Passo 4

O polinômio minimal sendo (t-2)^2 exige que haja pelo menos um bloco de tamanho exatamente 2, para que o expoente seja 2. Logo descartamos (k,l)=(0,5). Sobram
(k,l)=(1,3)e(k,l)=(2,1)

Passo 5

Traduzindo em formas de Jordan, usando Jn(2) para o bloco ntimes n com autovalor 2:
1. Se (k,l)=(1,3), há um bloco de ordem 2 e três de ordem 1, ou seja
J=diagl(J2(2),J1(2),J1(2),J1(2)r)
2. Se (k,l)=(2,1), há dois blocos de ordem 2 e um de ordem 1, ou seja
J=diagl(J2(2),J2(2),J1(2)r)

Resposta

As duas possíveis formas canônicas de Jordan para T são:
1. diagl(J2(2),J1(2),J1(2),J1(2)r)
2. diagl(J2(2),J2(2),J1(2)r)

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