Em cada item abaixo, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para um operador linear
, sabendo que:
e
.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
cuja característica é
e cujo polinômio minimal é
Estamos no conteúdo de forma canônica de Jordan: temos apenas um autovalor
de multiplicidade algébrica 5, e o expoente 2 em
indica que o maior bloco de Jordan tem tamanho 2.
Passo 2
Para montar a forma de Jordan precisamos repartir a dimensão total 5 em blocos de tamanho máximo 2. Chamemos
o número de blocos de tamanho 2 e
o número de blocos de tamanho 1. Então vale
com
inteiros.
Passo 3
Resolvendo
em não negativos, obtemos as opções
Passo 4
O polinômio minimal sendo
exige que haja pelo menos um bloco de tamanho exatamente 2, para que o expoente seja 2. Logo descartamos
. Sobram
Passo 5
Traduzindo em formas de Jordan, usando
para o bloco
com autovalor 2:
1. Se , há um bloco de ordem 2 e três de ordem 1, ou seja
1. Se
2. Se
, há dois blocos de ordem 2 e um de ordem 1, ou seja
Resposta
As duas possíveis formas canônicas de Jordan para
são:
1.
2.
1.
2.