Determine a forma canônica de Jordan para cada operador linear T (ou matriz A ) indicado(a) abaixo.
A=(rrrrrr2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1).

Passo 1

O enunciado pede a forma canônica de Jordan da matriz
A= 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 -1& 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1
Este é um exercício de teoria de autovalores e forma de Jordan. Para resolver, precisamos
1. determinar os autovalores e suas multiplicidades algébricas;
2. calcular a multiplicidade geométrica de cada autovalor (dimensão de ker(A-lambda I));
3., se necessário, usar ker((A-lambda I)^2) para descobrir o número de blocos de tamanho >=2;
4. montar os blocos de Jordan correspondentes.

Passo 2

Encontramos os autovalores observando que a soma dos elementos fora da última linha só envolve o valor 2, e a última linha revela um -1. Mais sistematicamente, o traço de A é
tr,A = 2+2+2+2+2+(-1)=9,
o que sugere autovalores 2 (com multiplicidade algébrica 5) e -1 (com multiplicidade algébrica 1).

Passo 3

Calculamos a multiplicidade geométrica de lambda=2, isto é, dimker(A-2I).
Escrevendo
A-2I= 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -3 ,
resolve-se (A-2I)x=0. Fazendo isso, obtemos dois graus de liberdade livres, logo
dimker(A-2I)=2
Isto significa que há 2 blocos de Jordan para o autovalor 2.

Passo 4

Para decidir os tamanhos desses dois blocos, computamos
(A-2I)^2= 0&0&0&0&0&0 0&0&0&0&0&0 0&0&0&0&0&0 1&0&0&0&0&0 0&1&0&0&0&0 1&1&1&1&-3&9
e resolvemos (A-2I)^2x=0. A contagem das equações dá
dimkerl((A-2I)^2r)=3
Pela teoria de Jordan, o número de blocos de tamanho >=2 é
dimkerl((A-2I)^2r);-;dimker(A-2I);=;3-2;=;1
Portanto, entre os dois blocos de Jordan para lambda=2, exatamente um tem tamanho >=2, e o outro é de tamanho 1. Como a soma das duas dimensões deve dar 5, a única partição possível é 4+1.

Passo 5

Para lambda=-1 a multiplicidade algébrica é 1, logo há um bloco 1times1 de Jordan l[-1r].
Assim, a forma de Jordan de A é um bloco 4times4 de valor 2, um bloco 1times1 de valor 2 e um bloco 1times1 de valor -1.

Resposta

A forma canônica de Jordan de A é a matriz diagonal-por-blocos
J= J4(2) & 0 & 0[6pt] 0 & J1(2) & 0[3pt] 0 & 0 & J1(-1) ,
onde
J4(2)= 2&1&0&0 0&2&1&0 0&0&2&1 0&0&0&2 , J1(2)=(2), J1(-1)=(-1) ]

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