Este é um exercício de teoria de autovalores e forma de Jordan. Para resolver, precisamos 1. determinar os autovalores e suas multiplicidades algébricas; 2. calcular a multiplicidade geométrica de cada autovalor (dimensão de ker(A-lambda I)); 3., se necessário, usar ker((A-lambda I)^2) para descobrir o número de blocos de tamanho >=2; 4. montar os blocos de Jordan correspondentes.
Passo 2
Encontramos os autovalores observando que a soma dos elementos fora da última linha só envolve o valor 2, e a última linha revela um -1. Mais sistematicamente, o traço de A é
tr,A = 2+2+2+2+2+(-1)=9,
o que sugere autovalores 2 (com multiplicidade algébrica 5) e -1 (com multiplicidade algébrica 1).
Passo 3
Calculamos a multiplicidade geométrica de lambda=2, isto é, dimker(A-2I).
Escrevendo
e resolvemos (A-2I)^2x=0. A contagem das equações dá
dimkerl((A-2I)^2r)=3
Pela teoria de Jordan, o número de blocos de tamanho >=2 é
dimkerl((A-2I)^2r);-;dimker(A-2I);=;3-2;=;1
Portanto, entre os dois blocos de Jordan para lambda=2, exatamente um tem tamanho >=2, e o outro é de tamanho 1. Como a soma das duas dimensões deve dar 5, a única partição possível é 4+1.
Passo 5
Para lambda=-1 a multiplicidade algébrica é 1, logo há um bloco 1times1 de Jordan l[-1r].
Assim, a forma de Jordan de A é um bloco 4times4 de valor 2, um bloco 1times1 de valor 2 e um bloco 1times1 de valor -1.
Resposta
A forma canônica de Jordan de A é a matriz diagonal-por-blocos