Em cada item abaixo, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para um operador linear T, sabendo que:
p(t)=t^4(t+3)^2 e m(t)=t^2(t+3).

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico
p(t)=t^4(t+3)^2
e o polinômio minimal
m(t)=t^2(t+3)
de um operador linear T.
Conteúdo: formas canônicas de Jordan, que se determinam pelos multiplicidades algébrica e exponente no polinômio minimal.

Passo 2

Pelo polinômio minimal m(t)=t^2(t+3):
– O maior bloco de Jordan associado ao valor próprio lambda=0 tem tamanho 2.
– O maior bloco de Jordan associado a lambda=-3 tem tamanho 1.

Passo 3

Para lambda=0: a multiplicidade algébrica é 4 e os blocos podem ter tamanho 1 ou 2, devendo haver pelo menos um bloco de tamanho 2. As partições de 4 permitindo isso são:
2+1+1ou2+2

Passo 4

Para lambda=-3: a multiplicidade algébrica é 2 e o maior bloco tem tamanho 1, logo só existem dois blocos J1(-3).

Passo 5

Agora combinamos os blocos de cada valor próprio. Há exatamente duas possibilidades:
  1. Para lambda=0: um bloco J2(0) e dois blocos J1(0).
  2. Para lambda=0: dois blocos J2(0).
    Em ambos os casos, para lambda=-3 sempre dois J1(-3).

Resposta

As formas canônicas de Jordan de T são, até ordem de blocos:
(a) J2(0)oplus J1(0)oplus J1(0);oplus;J1(-3)oplus J1(-3)
(b) J2(0)oplus J2(0);oplus;J1(-3)oplus J1(-3)

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