Em cada item abaixo, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para um operador linear T, sabendo que:
p(t)=(t+3)^5(t-1)^3 e m(t)=(t+3)^3(t-1)^2.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos um operador linear T em um espaço de dimensão 8, com polinômio característico
p(t)=(t+3)^5(t-1)^3
e polinômio mínimo
m(t)=(t+3)^3(t-1)^2
O objetivo é listar todas as formas canônicas de Jordan compatíveis com esses polinômios. Para isso, vamos usar que cada fator (t-lambda)^a no característico dá a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan para lambda, e que o expoente em m(t) é o tamanho do maior bloco de Jordan para lambda.

Passo 2

Condição para lambda=-3:
– A soma dos tamanhos dos blocos deve ser 5 (algebraicidade).
– O maior bloco tem tamanho 3 (porque (t+3)^3 é o fator em m(t)).
– Logo só podem aparecer blocos de tamanho <=3 e pelo menos um bloco de tamanho 3.

Passo 3

Partições de 5 com partes <= 3 e contendo ao menos uma parte 3:
  • 5 = 3 + 2
  • 5 = 3 + 1 + 1
    Não há outras opções porque 3+3 > 5 e sem um 3 o grau do mínimo não seria 3.

Passo 4

Condição para lambda=1:
– A soma dos tamanhos dos blocos deve ser 3.
– O maior bloco tem tamanho 2 (pois (t-1)^2 aparece em m(t)).
– Logo as partes são <=2 e há pelo menos um bloco de tamanho 2.
A única partição de 3 com essas restrições é
3 = 2 + 1

Passo 5

Combinação das escolhas para cada autovalor:
Caso A (para -3): blocos de tamanhos 3 e 2.
Caso B (para -3): blocos de tamanhos 3,1,1.
Em ambos os casos para 1: blocos de tamanhos 2 e 1.

Resposta

As formas canônicas de Jordan possíveis são exatamente duas:
(a) Para lambda = -3: blocos J3(-3) e J2(-3);
Para lambda = 1: blocos J2(1) e J1(1).
(b) Para lambda = -3: blocos J3(-3), J1(-3) e J1(-3);
Para lambda = 1: blocos J2(1) e J1(1).

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