Em cada item abaixo, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para um operador linear
, sabendo que:
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: temos um operador linear
em um espaço de dimensão
, com polinômio característico
e polinômio mínimo
O objetivo é listar todas as formas canônicas de Jordan compatíveis com esses polinômios. Para isso, vamos usar que cada fator
no característico dá a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan para
, e que o expoente em
é o tamanho do maior bloco de Jordan para
.
Passo 2
Condição para
:
– A soma dos tamanhos dos blocos deve ser (algebraicidade).
– O maior bloco tem tamanho (porque
é o fator em
).
– Logo só podem aparecer blocos de tamanho e pelo menos um bloco de tamanho
.
– A soma dos tamanhos dos blocos deve ser
– O maior bloco tem tamanho
– Logo só podem aparecer blocos de tamanho
Passo 3
Partições de
com partes
e contendo ao menos uma parte
:
-
-
Não há outras opções porquee sem um o grau do mínimo não seria .
Passo 4
Condição para
:
– A soma dos tamanhos dos blocos deve ser .
– O maior bloco tem tamanho (pois
aparece em
).
– Logo as partes são e há pelo menos um bloco de tamanho
.
A única partição de com essas restrições é
– A soma dos tamanhos dos blocos deve ser
– O maior bloco tem tamanho
– Logo as partes são
A única partição de
Passo 5
Combinação das escolhas para cada autovalor:
Caso A (para ): blocos de tamanhos
e
.
Caso B (para ): blocos de tamanhos
.
Em ambos os casos para : blocos de tamanhos
e
.
Caso A (para
Caso B (para
Em ambos os casos para
Resposta
As formas canônicas de Jordan possíveis são exatamente duas:
(a) Para
: blocos
e
;
Para : blocos
e
.
Para
(b) Para
: blocos
,
e
;
Para : blocos
e
.
Para