Em cada item abaixo, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para um operador linear T, sabendo que:
p(t)=(t+1) 4(t+2)^3 t^4 e m(t)=(t+1)^3(t+2)^2 t^2.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico
p(t)=(t+1)^4(t+2)^3t^4
e o polinômio mínimo
m(t)=(t+1)^3(t+2)^2t^2
O que precisamos é listar todas as decomposições em blocos de Jordan que cumpram, para cada valor próprio lambda:
  • a soma dos tamanhos dos blocos em lambda é a multiplicidade algébrica (expoente em p(t)),
  • o tamanho do maior bloco em lambda é o expoente de (t-lambda) em m(t).

Passo 2

Analisando lambda=-1:
  • multiplicidade algébrica =4 (pois (t+1)^4 em p(t)),
  • expoente em m(t) =3, logo o maior bloco de Jordan deve ter tamanho 3.
    Partições de 4 cujo maior termo é 3 são apenas 3+1.
    Logo há um único tipo de blocos em -1:
J3(-1);oplus;J1(-1)

Passo 3

Analisando lambda=-2:
  • multiplicidade algébrica =3,
  • expoente em m(t) =2, logo o maior bloco tem tamanho 2.
    Partições de 3 cujo maior termo é 2 são apenas 2+1.
    Logo em -2 há também apenas
J2(-2);oplus;J1(-2)

Passo 4

Analisando lambda=0:
  • multiplicidade algébrica =4,
  • expoente em m(t) =2, logo o maior bloco tem tamanho 2.
    Partições de 4 cujo maior termo é 2 são
2+2 ou 2+1+1
Assim existem duas possibilidades para os blocos em 0:
J2(0)oplus J2(0) ou J2(0)oplus J1(0)oplus J1(0)

Passo 5

Juntando todas as partes, as duas formas canônicas de Jordan para T são:
J3(-1);oplus;J1(-1);oplus;J2(-2);oplus;J1(-2);oplus; l(J2(0)oplus J2(0)r)
e
J3(-1);oplus;J1(-1);oplus;J2(-2);oplus;J1(-2);oplus; l(J2(0)oplus J1(0)oplus J1(0)r)

Resposta

As duas formas canônicas de Jordan são as que diferem apenas na parte de lambda=0, com blocos 2+2 ou com blocos 2+1+1.

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