Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
\left{-x^{2}+x+1,3 x^{2}-x+2,7 x^{2}-4 x+3\right} \subset P_{2}(\mathbb{R})
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD).
Em cada polinômio é representado pelos coeficientes de , e termo constante, e para testar independência basta ver se a combinação linear
implica apenas .
Passo 2
Escrevemos a combinação linear e agrupamos termos em potências de :
Agrupando coeficientes de , e constante, obtemos o sistema
Como isso deve ser o polinômio zero, cada coeficiente deve ser nulo.
Passo 3
Escrevemos então o sistema linear homogêneo em (a,b,c):
-a + 3b + 7c = 0, ;a - b -4c = 0, ;a +2b +3c = 0
Passo 4
Resolvendo o sistema, da primeira equação a=3b+7c. Substituindo na segunda:
(3b+7c) - b -4c = 0 Longrightarrow 2b +3c = 0 Longrightarrow b = -tfrac32c