Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
\left{-x^{2}+x+1,3 x^{2}-x+2,7 x^{2}-4 x+3\right} \subset P_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
-x^2+x+1,;3x^2-x+2,;7x^2-4x+3subset P2(R)
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD).
Em P2(R) cada polinômio é representado pelos coeficientes de x^2, x e termo constante, e para testar independência basta ver se a combinação linear
a(-x^2+x+1) + b(3x^2 - x + 2) + c(7x^2 - 4x + 3) = 0
implica apenas a=b=c=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e agrupamos termos em potências de x:
a(-x^2) + a(x) + a(1) + b(3x^2) - b(x) + b(2) + c(7x^2) -4c(x) + 3c = 0
Agrupando coeficientes de x^2, x e constante, obtemos o sistema
(-a + 3b + 7c) ,x^2, (a - b - 4c),x, (a + 2b + 3c)
Como isso deve ser o polinômio zero, cada coeficiente deve ser nulo.

Passo 3

Escrevemos então o sistema linear homogêneo em (a,b,c):
-a + 3b + 7c = 0, ;a - b -4c = 0, ;a +2b +3c = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema, da primeira equação a=3b+7c. Substituindo na segunda:
(3b+7c) - b -4c = 0 Longrightarrow 2b +3c = 0 Longrightarrow b = -tfrac32c
Na terceira equação substituímos a e b:
(3b+7c) +2b +3c = 0 Longrightarrow 5b +10c = 0 Longrightarrow b = -2c
Para que -tfrac32c = -2c tenhamos c=0. Então b=0 e a=0.

Passo 5

Como a única solução do sistema é a=b=c=0, não existe combinação não trivial que zere os polinômios. Logo o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é LI (linearmente independente).

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