Em cada item abaixo, determine os valores c tais que f^prime(c)=f(b)-f(a)b-a.
(b) f(x)=x^3, a=-2, b=2.

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=x^3 no intervalo [a,b]=[-2,2], encontrar os pontos c tais que f'(c)=f(b)-f(a)b-a. Vamos usar o Teorema do Valor Médio (TVM).

Passo 2

Primeiro, verificamos as hipóteses do TVM: f(x)=x^3 é contínua em [-2,2] e diferenciável em (-2,2), então o teorema se aplica.

Passo 3

Calculamos a diferença de valores e a razão média:
f(2)=2^3=8, f(-2)=(-2)^3=-8,
f(2)-f(-2)2-(-2)=8-(-8)4=164=4

Passo 4

A derivada de f(x) é f'(x)=3x^2. Pelo TVM, devemos ter:
f'(c)=3c^2=4

Passo 5

Resolvendo para c:
c^2=43Longrightarrow c=pm2raiz3

Passo 6

Por fim, conferimos que ambos os valores estão em (-2,2): como pmtfrac2raiz3approxpm1,155, eles realmente pertencem ao intervalo aberto, validando as duas soluções.

Resposta

c = \pm \dfrac{2}{\sqrt{3}}

Exercícios relacionados