Considere a seguinte equação diferencial
.
Para qual valor da constante, temos
.
Para qual valor da constante, temos
Passo 1
O exercício pede para resolver a EDO de primeira ordem
e determinar a constante de integração tal que
. Vamos usar o método de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação na forma
. A partir de
isolamos
:
Passo 3
Agora separamos variáveis: multiplicamos ambos os lados por
e reagrupamos:
Passo 4
Integramos os dois lados. Do lado esquerdo:
Do lado direito usamos a substituição
,
:
Voltando a
:
Passo 5
Multiplicando por 2 e reorganizando, obtemos a solução implícita geral:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
recebemos
Resposta
C = 1 + \ln 5