Considere a seguinte equação diferencial x+(x^2 y+4 y) y^prime=0.
Para qual valor da constante, temos y(1)=1.

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO de primeira ordem
x + l(x^2y + 4yr)y' = 0
e determinar a constante de integração tal que y(1)=1. Vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação na forma y' = dydx. A partir de
x + (x^2y + 4y)dydx = 0
isolamos dydx:
(x^2+4)ydydx = -x
dydx = -xy(x^2+4)

Passo 3

Agora separamos variáveis: multiplicamos ambos os lados por y,dx e reagrupamos:
y,dy = -xx^2+4,dx

Passo 4

Integramos os dois lados. Do lado esquerdo:
integral y,dy = y^22
Do lado direito usamos a substituição u = x^2+4, du = 2x,dx:
integral -xx^2+4,dx = -12 integral duu = -12ln|u| + C
Voltando a x:
y^22 = -12ln(x^2+4) + C

Passo 5

Multiplicando por 2 e reorganizando, obtemos a solução implícita geral:
y^2 + ln(x^2+4) = C'
onde C' = 2C é a constante de integração.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=1. Substituindo x=1 e y=1 em
y^2 + ln(x^2+4) = C'
recebemos
1^2 + ln(1^2+4) = C' Longrightarrow C' = 1 + ln 5

Resposta

C = 1 + \ln 5

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