Nos Problemas 9 e 10, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento das soluções quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações diferenciais com uma condição inicial:
Vamos resolver esse problema usando teoria de sistemas lineares, especificamente trabalhando com autovalores e autovetores. Isso nos ajudará a encontrar a solução geral do sistema e entender como a solução se comporta quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores do sistema. Para isso, calculamos o determinante da matriz
, onde
é a matriz dos coeficientes e
é a matriz identidade.
A matriz
fica assim:
O determinante dessa matriz é:
Expandindo:
Então:
Agora, encontramos os autovalores resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são complexos:
Passo 3
Com autovalores complexos, sabemos que a solução geral do sistema terá uma forma oscilatória multiplicada por uma função exponencial que determina o crescimento ou a decaída da amplitude.
A forma geral da solução é:
Onde:
-
(parte real dos autovalores) -
(parte imaginária dos autovalores) -
e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Então, a solução fica:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
e
.
Para
:
Substituindo na solução:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo:
Passo 5
Substituímos
e
na solução geral:
Expandindo:
Resposta
A solução do sistema é:
Quando
tende ao infinito (
), o fator
decai para zero. Portanto, as componentes de
também tendem a zero. Isso significa que a solução se aproxima do ponto de equilíbrio
conforme o tempo aumenta.