Nos Problemas 9 e 10, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento das soluções quando t infty.
x^prime=(rr-3 & 2 -1 & -1) x, x(0)=binom1-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações diferenciais com uma condição inicial:
x^prime = -3 & 2 -1 & -1 x, x(0) = 1 -2
Vamos resolver esse problema usando teoria de sistemas lineares, especificamente trabalhando com autovalores e autovetores. Isso nos ajudará a encontrar a solução geral do sistema e entender como a solução se comporta quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores do sistema. Para isso, calculamos o determinante da matriz A - lambda I = -3 - lambda & 2 -1 & -1 - lambda , onde det(A - lambda I) = (-3 - lambda)(-1 - lambda) - (-1)(2) = (lambda + 3)(lambda + 1) + 2 é a matriz dos coeficientes e (lambda + 3)(lambda + 1) = lambda^2 + 4lambda + 3 é a matriz identidade.
A matriz det(A - lambda I) = lambda^2 + 4lambda + 3 + 2 = lambda^2 + 4lambda + 5 fica assim:
lambda^2 + 4lambda + 5 = 0
O determinante dessa matriz é:
lambda = -4 pm raiz16 - 202 = -4 pm raiz-42 = -2 pm i
Expandindo:
lambda = -2 + i e lambda = -2 - i
Então:
Agora, encontramos os autovalores resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são complexos:

Passo 3

Com autovalores complexos, sabemos que a solução geral do sistema terá uma forma oscilatória multiplicada por uma função exponencial que determina o crescimento ou a decaída da amplitude.
A forma geral da solução é:
x(t) = e^alpha t [ C1 cos(beta t) sin(beta t) + C2 sin(beta t) -cos(beta t) ]
Onde:
  • x(t) = e^-2t [ C1 cos(t) sin(t) + C2 sin(t) -cos(t) ] (parte real dos autovalores)
  • (parte imaginária dos autovalores)
  • e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Então, a solução fica:

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial 1 -2 para encontrar cos(0) = 1 e sin(0) = 0 e x(0) = e^0 [ C1 1 0 + C2 0 -1 ] = C1 1 0 + C2 0 -1 .
Para C1 = 1 - C2 = -2 :
C1 = 1 e C2 = 2
Substituindo na solução:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo:

Passo 5

Substituímos x(t) = e^-2t [ 1 cdot cos(t) sin(t) + 2 cdot sin(t) -cos(t) ] e x(t) = e^-2t cos(t) + 2sin(t) sin(t) - 2cos(t) na solução geral:
Expandindo:

Resposta

A solução do sistema é:
x(t) = e^-2t cos(t) + 2sin(t) sin(t) - 2cos(t)
Quando tende ao infinito ( ), o fator decai para zero. Portanto, as componentes de também tendem a zero. Isso significa que a solução se aproxima do ponto de equilíbrio conforme o tempo aumenta.

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