Considere o problema y^prime prime-y^prime+14 y=0, com y(0)=2 e y^prime(0)=b. Determine os valores de b para os quais a solução y(t) +infty quando t +infty.

Passo 1

Entendendo o Problema:
Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - y' + 14y = 0
com as condições iniciais e . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de a solução tende a quando vai para .
Conteúdo da Matéria:
  • Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem: São equações que envolvem a segunda derivada de uma função.
  • Solução da Equação Característica: Método para encontrar a solução geral da equação diferencial.
  • Condições Iniciais: Usadas para determinar as constantes da solução geral.
  • Comportamento Assintótico: Analisar o comportamento da solução quando tende ao infinito.
Vamos precisar dessas ferramentas para resolver o problema passo a passo.

Passo 2

Encontrando a Equação Característica:
Para resolver a equação diferencial, começamos encontrando a equação característica associada:
r^2 - r + 14 = 0
Resolvendo essa equação quadrática para r = 1 pm raiz1 - 12 = 1 pm 02 = 12 :
y(t) = (C1 + C2 t) e^12 t
Obtemos uma raiz dupla .
Solução Geral da Equação Diferencial:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Aplicando as Condições Iniciais:
Vamos usar as condições y(0) = (C1 + C2 cdot 0) e^0 = C1 = 2 e y'(t) = C2 e^12 t + (C1 + C2 t) cdot 12 e^12 t para encontrar y'(t) = ( C2 + C12 + C2 t2 ) e^12 t e y'(0) = ( C2 + 22 ) = C2 + 1 = b .
  1. Para y(t) = (2 + (b - 1) t ) e^12 t :
    Substituindo na solução geral:
    Então, .
  2. Para :
    Primeiro, calculamos a derivada de :
    Simplificando:
    Substituindo :
    Então, .
Solução Particular:
Substituindo e na solução geral:

Passo 4

Analisando o Comportamento para y(t) = (2 + (b - 1) t ) e^12 t :
Queremos que quando . Vamos analisar a expressão:
  • Exponencial : Sempre cresce exponencialmente para .
  • Termo Linear :
    • Se , então domina e cresce positivamente.
    • Se , o termo linear é constante ( ).
    • Se , cresce negativamente.
Conclusão:
  • Para que , precisamos que o coeficiente de seja positivo ou zero.
  • Isso ocorre quando , ou seja, .

Resposta

Os valores de que satisfazem . Portanto, para , a solução tende a quando .

Exercícios relacionados