Considere o problema
e
. Determine os valores de
para os quais a solução
quando
.
Passo 1
Entendendo o Problema:
Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
a solução
tende a
quando
vai para
.
Conteúdo da Matéria:
- Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem: São equações que envolvem a segunda derivada de uma função.
- Solução da Equação Característica: Método para encontrar a solução geral da equação diferencial.
- Condições Iniciais: Usadas para determinar as constantes da solução geral.
- Comportamento Assintótico: Analisar o comportamento da solução quando
tende ao infinito.
Vamos precisar dessas ferramentas para resolver o problema passo a passo.
Passo 2
Encontrando a Equação Característica:
Para resolver a equação diferencial, começamos encontrando a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Obtemos uma raiz dupla
.
Solução Geral da Equação Diferencial:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Aplicando as Condições Iniciais:
Vamos usar as condições
e
para encontrar
e
.
-
Para
: Substituindona solução geral: Então,. -
Para
: Primeiro, calculamos a derivada de: Simplificando:Substituindo: Então,.
Solução Particular:
Substituindo
e
na solução geral:
Passo 4
Analisando o Comportamento para
:
Queremos que
quando
. Vamos analisar a expressão:
-
Exponencial
: Sempre cresce exponencialmente para . -
Termo Linear
: - Se
, então domina e cresce positivamente. - Se
, o termo linear é constante ( ). - Se
, cresce negativamente.
- Se
Conclusão:
- Para que
, precisamos que o coeficiente de seja positivo ou zero. - Isso ocorre quando
, ou seja, .
Resposta
Os valores de
que satisfazem
. Portanto, para
, a solução
tende a
quando
.