Em cada item abaixo, determine os valores c tais que f^prime(c)=f(b)-f(a)b-a.
© f(x)=-1x^2, a=-3, b=-1.

Passo 1

Estamos aplicando o Teorema do Valor Médio para a função f(x) = -1x^2 no intervalo [a,b] = [-3,-1]. Precisamos achar c in (-3,-1) tal que f'(c) = f(b)-f(a)b-a.

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x) usando a regra da potência:
f(x) = -x^-2
f'(x) = -(-2)x^-3 = 2x^3

Passo 3

Agora obtemos o coeficiente médio f(b)-f(a)b-a:
f(b)-f(a)b-a = f(-1) - f(-3)-1 - (-3) = -1 - (-1/9)2 = -49

Passo 4

Igualamos f'(c) ao valor médio e resolvemos para c:
2c^3 = -49 Longrightarrow c^3 = -92 Longrightarrow c = -raiz[3]92

Passo 5

Verificamos que -raiz[3]9/2 approx -1.27 está no intervalo aberto (-3,-1), satisfazendo o Teorema do Valor Médio.

Resposta

c = -raiz[3]tfrac92

Exercícios relacionados