Em cada item abaixo, determine os valores c tais que f^prime(c)=f(b)-f(a)b-a.
(a) f(x)=x^2+3 x-7, a=-1, b=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de para a função no intervalo de até . O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Médio, que basicamente diz que existe pelo menos um ponto onde a derivada da função nesse ponto é igual à razão de variação média da função no intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a variação média da função no intervalo Variação Média = f(b) - f(a)b - a . Isso é feito usando a fórmula:
f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) - 7 = 1 - 3 - 7 = -9 çãé
Vamos substituir f(2) = (2)^2 + 3(2) - 7 = 4 + 6 - 7 = 3 e f(2) - f(-1)2 - (-1) = 3 - (-9)3 = 123 = 4 na função :
Agora, calculamos a variação média:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função f'(x) = 2x + 3 . A derivada nos dá a taxa de variação instantânea da função, e para f'(c) = Variaç��o Média , a derivada é:
2c + 3 = 4
Segundo o Teorema do Valor Médio, existe um valor no intervalo tal que:
çé
Então, substituímos:

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar 2c + 3 = 4 :
2c = 1
Subtraímos 3 de ambos os lados:
c = 12
Dividimos por 2:

Resposta

O valor de é .

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