Em cada item abaixo, determine os valores
tais que
.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
para a função
no intervalo de
até
. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Médio, que basicamente diz que existe pelo menos um ponto
onde a derivada da função nesse ponto é igual à razão de variação média da função no intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a variação média da função no intervalo
. Isso é feito usando a fórmula:
Vamos substituir
e
na função
:
Agora, calculamos a variação média:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação instantânea da função, e para
, a derivada é:
Segundo o Teorema do Valor Médio, existe um valor
no intervalo
tal que:
Então, substituímos:
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar
:
Subtraímos 3 de ambos os lados:
Dividimos por 2:
Resposta
O valor de
é
.