Em cada item abaixo, determine o vetor gradiente no ponto
dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o vetor gradiente da função $ f(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} $ no ponto $ P = (1, 2) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor gradiente. Ele é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e suas componentes são as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso, temos duas variáveis: $ x $ e $ y $.
Então, para encontrar o vetor gradiente de $ f(x, y) $, precisamos calcular:
Passo 3
Vamos calcular agora as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
- Derivada parcial em relação a $ x $:
Aqui, usamos a regra do quociente:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
Aqui, como $ x $ é tratado como constante em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P = (1, 2) $.
- Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Resposta
O vetor gradiente de $ f(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} $ no ponto $ P = (1, 2) $ é: