Mostre que a equação do plano que é tangente ao parabolóide
z=x^2a^2+y^2b^2
em (x0, y0) pode ser escrita na forma
z+f(x0, y0)=2 x0a^2 x+2 y0b^2 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação do plano tangente ao parabolóide $ z = \frac{x{2}}{a{2}} + \frac{y{2}}{b{2}} $ no ponto $ (x_{0}, y_{0}) $ pode ser escrita como:
z = x^2a^2 + y^2b^2
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies. Precisaremos entender como encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um plano tangente a uma superfície em um ponto é aquele que “encosta” na superfície nesse ponto e tem a mesma inclinação da superfície naquele local. Para encontrar a equação desse plano, usamos as derivadas parciais da função que define a superfície.

Passo 3

A superfície dada é $ z = \frac{x{2}}{a{2}} + \frac{y{2}}{b{2}} $. Vamos chamar essa função de $ f(x, y) $, ou seja:
z = x^2a^2 + y^2b^2
No ponto $ (x_{0}, y_{0}) $, o valor de $ z $ é:
f(x, y)

Passo 4

Agora, para encontrar a equação do plano tangente, precisamos das derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nos eixos $ x $ e $ y $.
Calculando as derivadas:
f
x
No ponto $ (x_{0}, y_{0}) $, as derivadas são:
y
x

Passo 5

A equação do plano tangente a uma superfície $ z = f(x, y) $ no ponto $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ é dada por:
z = f(x, y)
Substituindo as derivadas que calculamos:
(x0, y0, z0)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação. Distribuindo os termos:
z - z0 = 2x0a^2 x - 2x0^2a^2 + 2y0b^2 y - 2y0^2b^2
Agora, rearranjando para isolar $ z $:
z

Passo 7

Lembrando que $ z_{0} = \frac{x_{0}{2}}{a{2}} + \frac{y_{0}{2}}{b{2}} $, substituímos na equação:
z0 = x0^2a^2 + y0^2b^2
Simplificando os termos constantes:
z = 2x0a^2 x + 2y0b^2 y - ( 2x0^2a^2 + 2y0^2b^2 ) + ( x0^2a^2 + y0^2b^2 )
Mas observe que $ z_{0} = \frac{x_{0}{2}}{a{2}} + \frac{y_{0}{2}}{b{2}} $, então podemos reescrever:
z = 2x0a^2 x + 2y0b^2 y - x0^2a^2 - y0^2b^2
Ou seja:
z0 = x0^2a^2 + y0^2b^2

Resposta

A equação do plano tangente ao parabolóide $ z = \frac{x{2}}{a{2}} + \frac{y{2}}{b{2}} $ no ponto $ (x_{0}, y_{0}) $ é:
z = x^2a^2 + y^2b^2

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