Mostre que a equação do plano que é tangente ao parabolóide
em
pode ser escrita na forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação do plano tangente ao parabolóide $ z = \frac{x{2}}{a{2}} + \frac{y{2}}{b{2}} $ no ponto $ (x_{0}, y_{0}) $ pode ser escrita como:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies. Precisaremos entender como encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um plano tangente a uma superfície em um ponto é aquele que “encosta” na superfície nesse ponto e tem a mesma inclinação da superfície naquele local. Para encontrar a equação desse plano, usamos as derivadas parciais da função que define a superfície.
Passo 3
A superfície dada é $ z = \frac{x{2}}{a{2}} + \frac{y{2}}{b{2}} $. Vamos chamar essa função de $ f(x, y) $, ou seja:
No ponto $ (x_{0}, y_{0}) $, o valor de $ z $ é:
Passo 4
Agora, para encontrar a equação do plano tangente, precisamos das derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nos eixos $ x $ e $ y $.
Calculando as derivadas:
No ponto $ (x_{0}, y_{0}) $, as derivadas são:
Passo 5
A equação do plano tangente a uma superfície $ z = f(x, y) $ no ponto $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ é dada por:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação. Distribuindo os termos:
Agora, rearranjando para isolar $ z $:
Passo 7
Lembrando que $ z_{0} = \frac{x_{0}{2}}{a{2}} + \frac{y_{0}{2}}{b{2}} $, substituímos na equação:
Simplificando os termos constantes:
Mas observe que $ z_{0} = \frac{x_{0}{2}}{a{2}} + \frac{y_{0}{2}}{b{2}} $, então podemos reescrever:
Ou seja:
Resposta
A equação do plano tangente ao parabolóide $ z = \frac{x{2}}{a{2}} + \frac{y{2}}{b{2}} $ no ponto $ (x_{0}, y_{0}) $ é: