Em cada item abaixo, determine o vetor gradiente no ponto
dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor gradiente da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ no ponto $ P = (3, 4) $. A gente vai precisar entender o que é o vetor gradiente e como calcular as derivadas parciais da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas suas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. A função é $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
De maneira similar, calculamos a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos construir o vetor gradiente:
Passo 6
Vamos substituir as coordenadas do ponto $ P = (3, 4) $ na expressão do gradiente:
Passo 7
Calculando o denominador:
Então,
Resposta
O vetor gradiente da função no ponto $ P = (3, 4) $ é $ \nabla f(3, 4) = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) $.