Em cada item abaixo, determine o vetor gradiente no ponto P dado.
f(x, y)=raizx^2+y^2, P=(3,4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor gradiente da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ no ponto $ P = (3, 4) $. A gente vai precisar entender o que é o vetor gradiente e como calcular as derivadas parciais da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas suas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
f(x, y)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. A função é $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Usando a regra da cadeia:
f

Passo 4

De maneira similar, calculamos a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos construir o vetor gradiente:
nabla f = ( xraizx^2 + y^2, yraizx^2 + y^2 )

Passo 6

Vamos substituir as coordenadas do ponto $ P = (3, 4) $ na expressão do gradiente:
P = (3, 4)

Passo 7

Calculando o denominador:
raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então,
nabla f(3, 4) = ( 35, 45 )

Resposta

O vetor gradiente da função no ponto $ P = (3, 4) $ é $ \nabla f(3, 4) = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) $.

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