Em cada item abaixo, determine o vetor gradiente, o vetor gradiente no ponto
e calcule a derivada direcional no ponto
e na direção do vetor unitário associado a
.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = \sin(2x + 3y) $, um ponto específico $ P = (-6, 4) $ e um vetor $ \vec{v} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $. O que precisamos fazer é:
- Determinar o vetor gradiente da função $ f $.
- Encontrar o vetor gradiente no ponto $ P $.
- Calcular a derivada direcional no ponto $ P $ na direção do vetor unitário associado a $ \vec{v} $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o vetor gradiente e a derivada direcional.
Passo 2
Vamos começar encontrando o vetor gradiente da função $ f(x, y) $. O vetor gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de $ f $ em relação às suas variáveis. Ou seja,
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $, onde $ u = 2x + 3y $.
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial em relação a $ y $:
Novamente, usamos a regra da cadeia: a derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ y $.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, o vetor gradiente fica:
Isso nos dá o vetor gradiente em qualquer ponto $ (x, y) $ da função.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o vetor gradiente no ponto $ P = (-6, 4) $. Basta substituir $ x = -6 $ e $ y = 4 $ na expressão do gradiente:
Simplificando os argumentos das cossenos:
Como $ \cos(0) = 1 $, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada direcional no ponto $ P $ na direção do vetor unitário associado a $ \vec{v} $. A derivada direcional é dada por:
Onde $ \vec{u} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{v} $, e $ \cdot $ representa o produto escalar.
Primeiro, precisamos encontrar o vetor unitário $ \vec{u} $. Para isso, normalizamos $ \vec{v} $:
Calculando a magnitude de $ \vec{v} $:
Então,
Passo 8
Agora que temos $ \nabla f(-6, 4) = (2, 3) $ e $ \vec{u} = \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}},\ \frac{-2}{\sqrt{10}} \right) $, vamos calcular o produto escalar:
Simplificando:
Podemos racionalizar os denominadores se preferir:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto $ P = (-6, 4) $ na direção do vetor $ \vec{v} $ é: