Determine as taxas de variação máxima e mínima de f no ponto dado e a direção em que ambos ocorrem
f(x, y)=4 y raizy, P=(4,1);

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a missão aqui! A gente precisa encontrar as taxas de variação máxima e mínima da função $ f(x, y) = 4y \sqrt{y} $ no ponto $ P = (4, 1) $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais e direções de maior e menor variação. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e entender como elas nos ajudam a encontrar essas taxas de variação e as direções correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa taxa de variação máxima e mínima. A taxa de variação máxima em um ponto é a direção na qual a função cresce mais rapidamente, e sua magnitude é igual ao comprimento do gradiente da função nesse ponto. Já a taxa de variação mínima é a direção na qual a função cresce mais lentamente, o que na prática significa a direção contrária ao gradiente para a mínima, mas vamos ver como isso se aplica aqui.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $. A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f(x, y)
Já a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ P = (4, 1) $:
P = (4, 1)
fx(4, 1) = 0

Passo 5

O gradiente da função $ \nabla f $ é o vetor formado pelas derivadas parciais:
nabla f
Esse vetor aponta na direção da taxa de variação máxima da função no ponto considerado, e sua magnitude nos dá o valor dessa taxa de variação máxima.

Passo 6

Vamos calcular a magnitude do gradiente:
|nabla f| = raiz0^2 + 6^2 = raiz36 = 6
Então, a taxa de variação máxima é 6, e ocorre na direção do vetor gradiente $ (0, 6) $.

Passo 7

Para encontrar a taxa de variação mínima, precisamos considerar que a taxa de variação na direção oposta ao gradiente será a mínima. Como a derivada em direção a essa direção será negativa, a magnitude será a mesma, mas considerada como uma taxa de variação mínima.

Passo 8

Portanto, a taxa de variação mínima é -6, e ocorre na direção oposta ao gradiente, que é $ (0, -6) $.

Resposta

As taxas de variação máxima e mínima de $ f $ no ponto $ P = (4, 1) $ são, respectivamente, 6 na direção $ (0, 1) $ e -6 na direção $ (0, -1) $.

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