Determine as taxas de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção em que ambos ocorrem
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Passo 1
Beleza, vamos ver qual é a missão aqui! A gente precisa encontrar as taxas de variação máxima e mínima da função $ f(x, y) = 4y \sqrt{y} $ no ponto $ P = (4, 1) $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais e direções de maior e menor variação. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e entender como elas nos ajudam a encontrar essas taxas de variação e as direções correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa taxa de variação máxima e mínima. A taxa de variação máxima em um ponto é a direção na qual a função cresce mais rapidamente, e sua magnitude é igual ao comprimento do gradiente da função nesse ponto. Já a taxa de variação mínima é a direção na qual a função cresce mais lentamente, o que na prática significa a direção contrária ao gradiente para a mínima, mas vamos ver como isso se aplica aqui.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $. A derivada parcial em relação a $ x $ é:
Já a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ P = (4, 1) $:
Passo 5
O gradiente da função $ \nabla f $ é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Esse vetor aponta na direção da taxa de variação máxima da função no ponto considerado, e sua magnitude nos dá o valor dessa taxa de variação máxima.
Passo 6
Vamos calcular a magnitude do gradiente:
Então, a taxa de variação máxima é 6, e ocorre na direção do vetor gradiente $ (0, 6) $.
Passo 7
Para encontrar a taxa de variação mínima, precisamos considerar que a taxa de variação na direção oposta ao gradiente será a mínima. Como a derivada em direção a essa direção será negativa, a magnitude será a mesma, mas considerada como uma taxa de variação mínima.
Passo 8
Portanto, a taxa de variação mínima é -6, e ocorre na direção oposta ao gradiente, que é $ (0, -6) $.
Resposta
As taxas de variação máxima e mínima de $ f $ no ponto $ P = (4, 1) $ são, respectivamente, 6 na direção $ (0, 1) $ e -6 na direção $ (0, -1) $.