Verifique se a integral imprópria converge ou diverge
integral-infty^0 d xx^2-3 x+2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria integral-infty^0 dxx^2-3x+2 converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias (com limite infinito) e técnicas de frações parciais para encontrar a primitiva.

Passo 2

Primeiro, identificamos possíveis singularidades no denominador x^2-3x+2=(x-1)(x-2). As raízes são x=1 e x=2, ambas fora do intervalo de integração ( -infty,0 ]. Logo, não há descontinuidade interna; o único ponto impróprio é o limite inferior -infty.

Passo 3

Reescrevemos a integral como limite:
I = integral-infty^0 dxx^2-3x+2 = limRto+infty integral-R^0 dxx^2-3x+2

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1x^2-3x+2 = Ax-1 + Bx-2

Passo 5

Para encontrar A e B, impomos
1 = A(x-2) + B(x-1)
Colocando x=1 obtemos A=-1 e colocando x=2 obtemos B=1. Portanto,
1x^2-3x+2 = -1x-1 + 1x-2

Passo 6

Integramos cada termo:
integral dxx^2-3x+2 = -integral dxx-1 + integral dxx-2 = -lnlvert x-1rvert + lnlvert x-2rvert + C

Passo 7

Substituímos nos limites e calculamos o limite:
integral-R^0 dxx^2-3x+2 = l[-ln|x-1|+ln|x-2|r]x=-R^x=0 = ln0-20-1 - ln-R-2-R-1
Como 0-20-1=2 e para Rto+infty temos
limRtoinftylnR+2R+1 = ln1 = 0,
segue que
I = ln2 - 0 = ln2

Passo 8

Como o resultado é finito, a integral converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é ln 2.

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