Verifique se a integral imprópria converge ou diverge
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias (com limite infinito) e técnicas de frações parciais para encontrar a primitiva.
Passo 2
Primeiro, identificamos possíveis singularidades no denominador
. As raízes são
e
, ambas fora do intervalo de integração
. Logo, não há descontinuidade interna; o único ponto impróprio é o limite inferior
.
Passo 3
Reescrevemos a integral como limite:
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Passo 5
Para encontrar
e
, impomos
Colocando
obtemos
e colocando
obtemos
. Portanto,
Passo 6
Integramos cada termo:
Passo 7
Substituímos nos limites e calculamos o limite:
Como
e para
temos
segue que
Passo 8
Como o resultado é finito, a integral converge.
Resposta
A integral converge e seu valor é
.