Calcular a área da região limitada por:
x=2-y-y^2 e o eixo das coordenadas

Passo 1

O exercício pede para calcular a área da região limitada pela curva x=2-y-y^2 e pelos eixos x=0 e y=0. Este é um problema de cálculo de área via integral simples, onde vamos usar a expressão de x em função de y e integrar em y.

Passo 2

Para identificar os limites de integração, encontramos onde a curva corta os eixos. Em y=0 temos x=2, ou seja ponto (2,0). Em x=0 resolvemos 2-y-y^2=0, obtendo y=1 ou y=-2. Como a região fica no primeiro quadrante, temos y variando de 0 a 1.

Passo 3

A área é dada pela integral da diferença entre a abscissa da curva e a abscissa do eixo y (que é zero). Assim, montamos a integral
A = integraly=0^1 l(2 - y - y^2r),dy

Passo 4

Agora calculamos a integral. A antiderivada de 2 - y - y^2 é 2y - tfracy^22 - tfracy^33. Avaliando de 0 a 1:
A = l[2y - tfracy^22 - tfracy^33r]0^1 = 2 - tfrac12 - tfrac13 = tfrac76

Resposta

tfrac76

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