Para cada item abaixo, encontre os 5 primeiros termos da sequência de somas parciais sn e obtenha uma fórmula para sn em temos de n.
sumn=1^+infty 2 n+1n^2(n+1)^2

Passo 1

O enunciado pede os cinco primeiros termos da sequência de somas parciais
sumn=1^infty 2n+1n^2(n+1)^2
e uma fórmula fechada para sn. O método ideal aqui é usar decomposição em frações parciais para obter uma soma telescópica.

Passo 2

Procuramos constantes A,B,C,D tais que
2n+1n^2(n+1)^2 = An + Bn^2 + Cn+1 + D(n+1)^2
Multiplicando por n^2(n+1)^2 e igualando coeficientes de n^3,n^2,n,1, obtemos
B=1, A+2B=2implies A=0, C=-A=0, 2A+B+C+D=0implies D=-1
Logo,
2n+1n^2(n+1)^2 = 1n^2 - 1(n+1)^2

Passo 3

Somando de k=1 até n cada termo telescópico,
sn=sumk=1^nl(1k^2-1(k+1)^2r) =1-1(n+1)^2
Isso porque todos os termos intermediários cancelam.

Passo 4

Basta usar sn=1-1(n+1)^2:
s1=1-12^2=34, s2=1-13^2=89, s3=1-14^2=1516,
s4=1-15^2=2425, s5=1-16^2=3536

Resposta

s1,s2,s3,s4,s5=ltfrac34,tfrac89,tfrac1516,tfrac2425,tfrac3536r\n
sn=1-1(n+1)^2

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