1. Determine a distância máxima da elipse x^2+2 y^2=1 à reta x+y=4.

Passo 1

O enunciado pede a distância máxima de um ponto (x,y) da elipse
x^2+2y^2=1
à reta
x+y=4
Isso é um problema de otimização com restrição: usamos a fórmula da distância ponto–reta e depois minimizamos (ou maximizamos) uma função linear sujeita à restrição elíptica, via multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

A distância de (x,y) à reta x+y=4 é
d(x,y) =l|x+y-4r|raiz1^2+1^2 =|,x+y-4,|raiz2
Para todo (x,y) na elipse temos x^2+2y^2=1implies x^2+y^2<= x^2+2y^2=1, logo |x+y|<=raiz2(x^2+y^2)<=raiz2, de modo que x+y<4. Assim
d(x,y)=4-(x+y)raiz2
e maximizar d é equivalente a minimizar
S(x,y)=x+y
sujeito a x^2+2y^2=1.

Passo 3

Aplicamos o método de Lagrange. Definimos
f(x,y)=x+y, g(x,y)=x^2+2y^2-1=0
A condição nabla f=lambdanabla g dá o sistema
1=2lambda x, 1=4lambda y, x^2+2y^2=1

Passo 4

Das duas primeiras equações segue
x=12lambda, y=14lambda
Substituindo em x^2+2y^2=1 resulta
14lambda^2 +2cdot116lambda^2 =1 Longrightarrow 38lambda^2=1 Longrightarrow lambda^2=38

Passo 5

Temos lambda=pmraiztfrac38. Então
x+y =12lambda+14lambda =34lambda
Para lambda>0 isto é positivo; para lambda<0 é negativo, e queremos o menor valor de x+y. Logo escolhemos lambda=-raiztfrac38, obtendo
min(x+y) =34l(-raiztfrac38r) =-raiz62

Passo 6

A distância máxima é
dmax =4-l(min(x+y)r)raiz2 =4-(-tfracraiz62)raiz2 =4+tfracraiz62raiz2 =4raiz2+raiz32

Resposta

boxeddmax=4raiz2+raiz32

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