Em cada item abaixo, as equações representam as trajetórias retilíneas de duas partículas com velocidade uniforme. Determine se as trajetórias se interceptam. Em caso afirmativo, determine se há colisão entre as partículas.
alpha(t)=(1+t,-2 t, 3-t) e beta(t)=(-2+t, 6-2 t, 6-t)

Passo 1

O enunciado dá duas trajetórias retilíneas com movimento uniforme
alpha(t)=(1+t,,-2t,,3-t) e beta(t)=(-2+s,,6-2s,,6-s)
e pede (i) se há interseção das trajetórias como conjuntos de pontos; (ii) se as partículas colidem, ou seja, se existe um mesmo instante t em que alpha(t)=beta(t).

Passo 2

Para ver se as trajetórias (as linhas) se interceptam, igualamos
Da primeira equação vem
Substituindo .

Passo 3

Como o sistema tem solução para todo t (basta escolher s = t+3), as duas curvas coincidem:
beta(t+3)=alpha(t)forall t
Logo, as trajetórias são a mesma reta e, portanto, intersectam-se em infinitos pontos.

Passo 4

Para haver colisão, precisaríamos de alpha(t)=beta(t) para algum t. Das componentes:
1 + t = -2 + t implies 1 = -2,
que é impossível. Portanto não existe t em que as duas partículas ocupem o mesmo ponto simultaneamente.

Resposta

As trajetórias coincidem (a mesma reta), mas não há colisão, pois nunca estão juntas ao mesmo instante.

Exercícios relacionados