Encontre condições sobre o vetor para que exista uma reta na direção de que intercepte simultaneamente as retas e nos ítens abaixo:

Passo 1

O enunciado pede condições sobre o vetor de direção
Vamos parametrizar pontos e exigir que exista tal que .

Passo 2

Parametrizamos
P=(2+t1,;5-t1,;3+t1), Q=(t2,;1-t2,;-2)
A condição de interseção é
P+mu,(a,b,c)=Q,
ou seja
2+t1 + a,mu = t2, 5 - t1 + b,mu = 1 - t2, 3 + t1 + c,mu = -2

Passo 3

Do terceiro item obtemos
t1 + c,mu = -5
Somando as duas primeiras equações, cancelam t1 e t2, ficando
(a+b),mu = -2 +(-4);=;-6

Passo 4

Para existir mu basta que o coeficiente de mu não seja zero, isto é
a + b neq 0
Nesse caso
mu = -6a+b,
e com isso determinam-se t1 e t2 de forma única, garantindo interseção.

Resposta

A reta na direção de (a,b,c) intersecta simultaneamente r e s se, e somente se,
a + b neq 0

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