Em cada item abaixo, as equações representam as trajetórias retilíneas de duas partículas com velocidade uniforme. Determine se as trajetórias se interceptam. Em caso afirmativo, determine se há colisão entre as partículas.
gamma(t)=(1+t,-2 t, 3-t) e de<a(t)=(-1+t, 4-2 t,-3-t)

Passo 1

O enunciado dá duas trajetórias retilíneas de partículas com movimento uniforme, descritas pelas funções vetoriais
gamma(t) = (1+t,,-2t,,3-t) e de<a(t) = (-1+t,,4-2t,,-3-t).
O objetivo é verificar se as duas retas no espaço se intersectam (isto é, se existe ponto em comum) e, em caso afirmativo, checar se há colisão (as partículas chegam ao mesmo ponto ao mesmo tempo).

Passo 2

Para testar intersecção, igualamos
gamma(t) ;=;de<a(s)
e obtemos o sistema de equações em t e s:
1 + t ;=;-1 + s, -2t ;=;4 - 2s, 3 - t ;=;-3 - s

Passo 3

Da primeira equação temos
1 + t = -1 + s Longrightarrow s = t + 2

Passo 4

Substituindo s = t+2 na segunda equação:
-2t = 4 - 2(t+2) ;Longrightarrow; -2t = 4 -2t -4 ;Longrightarrow; -2t = -2t,
que é sempre verdadeira, sem impor nova restrição.

Passo 5

Substituindo s = t+2 na terceira equação:
3 - t = -3 - (t+2) ;Longrightarrow; 3 - t = -5 - t ;Longrightarrow; 3 = -5,
o que é impossível. Logo não há solução comum para t e s.

Resposta

As trajetórias não se interceptam, portanto não há colisão entre as partículas.

Exercícios relacionados