Para cada item abaixo, esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça todas as condições dadas:
lim x -1^+ f(x)=infty, lim x -1^- f(x)=2, lim x 0^- f(x)=-infty, lim x 0^+ f(x)=-2, lim x infty f(x)=3, x=4 é assíntota vertical e y=-2 é assíntota horizontal.

Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função f que tenha dois pontos de descontinuidade (x=–1 e x=0), uma assíntota vertical em x=4 e duas assíntotas horizontais: y=–2 (em x→–∞) e y=3 (em x→+∞). Além disso, as limitações próximas a –1 e 0 são dadas.

Passo 2

Para x→–1 temos comportamento desigual: de um lado (x→–1⁻) f(x) deve aproximar‐se de 2 por cima de uma reta horizontal em y=2; do outro lado (x→–1⁺) f(x) dispara para +∞, criando ali um ramo vertical que sobe.
Entre –1 e 0 desenhamos um ramo que sai de +∞ em x=–1 e cai continuamente até –∞ em x=0. Isso garante as duas condições: lim_{x→–1⁺}f(x)=+∞ e lim_{x→0⁻}f(x)=–∞.

Passo 3

Para x→0⁺ f(x) deve tender a –2, então iniciamos para x>0 um ramo que começa junto à linha y=–2 (num ponto imediatamente à direita de x=0) e cresce até +∞ em x=4, criando aí a segunda assíntota vertical.
Finalmente, para x>4 começamos um ramo que sai de –∞ em x=4⁺ e se acomoda assintoticamente em y=3 quando x→+∞.

Passo 4

Opcionalmente, à esquerda de x=–1 podemos desenhar o rastro da assíntota horizontal y=–2, mas sem obrigar f a passar sempre por ela — basta que para x→–∞ o gráfico se aproxime de y=–2. Isso fecha o esboço exibindo todos os comportamentos pedidos.

Resposta

O esboço final deve mostrar quatro ramos: 1)·Para x<–1 um ramo que se aproxima de y=–2 em x→–∞ e chega a y=2 em x→–1⁻; 2)·Entre –1 e 0 um ramo que cai de +∞ (em x=–1⁺) até –∞ (em x=0⁻); 3)·Entre 0 e 4 um ramo que sai de y≈–2 (em x=0⁺) e sobe até +∞ (em x=4⁻); 4)·Para x>4 um ramo que sai de –∞ (em x=4⁺) e se aproxima de y=3 conforme x→+∞. As retas x=–1, x=0 e x=4 aparecem como assíntotas verticais nos pontos indicados, e y=–2 e y=3 são as assíntotas horizontais à esquerda (x→–∞) e à direita (x→+∞), respectivamente.

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