Em cada item abaixo Г© fornecida a equaГ§ГЈo de uma curva, junto com as coordenadas de um ponto P0. Verifique, em cada caso, se o ponto P0 pertence Г  curva e, se pertencer, derive implicitamente para determinar a equaГ§ГЈo da reta tangente Г  curva em tal ponto.
x^3-x y+y^3=7, P0=(2,1)

Passo 1

Temos a curva definida por x^3 - x y + y^3 = 7 e o ponto P0=(2,1). O que precisamos fazer é verificar se P0 pertence à curva e, em caso afirmativo, usar derivação implícita para encontrar a reta tangente no ponto. O conteúdo principal é derivação implícita e equação da reta tangente.

Passo 2

Para checar a pertinência de P0, substituímos x=2 e y=1 na equação da curva:
2^3 - 2cdot1 + 1^3 = 8 - 2 + 1 = 7
Como obtemos 7=7, o ponto (2,1) pertence à curva.

Passo 3

Agora derivamos implicitamente x^3 - x y + y^3 = 7 em relação a x. Aplicando a regra da potência em x^3, a regra do produto em x y e a regra da cadeia em y^3, temos:
3x^2 - l(xdydx + yr) + 3y^2dydx = 0

Passo 4

Agrupando os termos que contêm dydx e isolando essa derivada, obtemos:
dydx(3y^2 - x) + 3x^2 - y = 0 Longrightarrow dydx = y - 3x^23y^2 - x

Passo 5

Para encontrar o coeficiente angular no ponto (2,1), substituímos:\n dydxg|(2,1) = 1 - 3cdot2^23cdot1^2 - 2 = 1 - 123 - 2 = -11
Logo, a inclinação da reta tangente é m=-11.

Passo 6

Usando a forma ponto-inclinação da reta tangente em (2,1):
y - 1 = -11(x - 2),
que, ao simplificar, fica
y = -11x + 23

Resposta

y = -11x + 23

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