Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}), definida por T(1,0,0)=t^{2}-1, T(0,1,0)=t e T(0,0,1)=2.
I. Escolha bases \alpha e \beta de modo adequado e determine a matriz [T]_{\beta}^{\alpha}.
II. Calcule:
a) T^{-1}\left(x t^{2}+y t+z\right)
b) \left[T^{-1}\right]_{\alpha}^{\beta}
c) \left[T^{-1}\right]_{\alpha}^{\beta} \cdot[T]_{\beta}^{\alpha}

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to P_2(\mathbb{R}) por
T(1,0,0)=t^2-1,\quad T(0,1,0)=t,\quad T(0,0,1)=2.
Vamos escolher como base \alpha de \mathbb{R}^3 a base canônica \{e_1,e_2,e_3\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}
e como base \beta de P_2(\mathbb{R}) o conjunto \{t^2,t,1\}.

Passo 2

Para obter [T]_\beta^\alpha escrevemos cada T(e_i) em coordenadas na base \beta:
T(e_1)=t^2-1=1\cdot t^2+0\cdot t+(-1)\cdot1,
T(e_2)=t=0\cdot t^2+1\cdot t+0\cdot1,
T(e_3)=2=0\cdot t^2+0\cdot t+2\cdot1.
Assim, a matriz cujas colunas são esses vetores de coordenadas é
[T]_\beta^\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar T^{-1} resolvemos
T(a,b,c)=x t^2+y t+z.
Como
T(a,b,c)=a(t^2-1)+b\,t+2c = a\,t^2 + b\,t +(-a+2c),
igualando coeficientes vem
a=x,\quad b=y,\quad -a+2c=z\;\Longrightarrow\;c=\frac{x+z}{2}.
Logo
T^{-1}(x t^2+y t+z)=(x,\;y,\;\tfrac{x+z}{2}).

Passo 4

Para construir [T^{-1}]_\alpha^\beta aplicamos T^{-1} aos vetores de \beta:
T^{-1}(t^2)=(1,0,\tfrac12),\quad T^{-1}(t)=(0,1,0),\quad T^{-1}(1)=(0,0,\tfrac12).
Essas são as colunas de [T^{-1}]_\alpha^\beta, ou seja
[T^{-1}]_\alpha^\beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 5

Multiplicando
[T^{-1}]_\alpha^\beta\,[T]_\beta^\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} =I_3,
pois a multiplicação linha–coluna produz a identidade de ordem 3.

Resposta

I. \alpha=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, \beta=\{t^2,t,1\}
[T]_\beta^\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
II a)
T^{-1}(x t^2+y t+z)=(x,\;y,\;\tfrac{x+z}{2}).
II b)
[T^{-1}]_\alpha^\beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.
II c)
[T^{-1}]_\alpha^\beta\,[T]_\beta^\alpha =I_3.

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