Em cada item abaixo Г© fornecida a equaГ§ГЈo de uma curva, junto com as coordenadas de um ponto P0. Verifique, em cada caso, se o ponto P0 pertence Г  curva e, se pertencer, derive implicitamente para determinar a equaГ§ГЈo da reta tangente Г  curva em tal ponto.
x^5+x y^3+x^2 y+y^4=4 , P0=(1,1)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva implícita
x^5 + x y^3 + x^2 y + y^4 = 4
e o ponto P0=(1,1). O conteúdo é derivação implícita para encontrar a reta tangente.

Passo 2

Verificamos se P0 pertence à curva substituindo x=1 e y=1:
1^5 + 1cdot1^3 + 1^2cdot1 + 1^4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4,
então P0 realmente está na curva.

Passo 3

Derivação implícita: definimos
F(x,y)=x^5 + x y^3 + x^2 y + y^4 - 4=0
Diferenciando em relação a x e usando que y depende de x, temos
Fx + Fy,y'=0,
sendo
Fx = partial Fpartial x = 5x^4 + y^3 + 2xy,
Fy = partial Fpartial y = 3xy^2 + x^2 + 4y^3
Logo
y' = -FxFy

Passo 4

Avaliação em P0=(1,1):
Fx(1,1)=5cdot1^4+1^3+2cdot1cdot1=5+1+2=8,
Fy(1,1)=3cdot1cdot1^2+1^2+4cdot1^3=3+1+4=8,
portanto
y'l|(1,1)=-88=-1

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação para a reta tangente em (1,1):
y-1 = -1,(x-1),
ou seja
y = -x + 2

Resposta

A reta tangente à curva em P0=(1,1) é y = -x + 2.

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