Calcule a integral múltiplas das seguintes funções na região D :
f(x, y)=x-y onde D é o paralelogramo que liga os pontos (1,2),(3,4),(4,3) e (6,5)

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a integral dupla integral duplaD (x - y),dA, onde D é o paralelogramo com vértices (1,2),(3,4),(4,3),(6,5). O conteúdo envolvido é mudança de variáveis para integrar sobre paralelogramo, então vamos parametrizar D usando vetores geradores e calcular o jacobiano.

Passo 2

Escolhemos como ponto de partida (1,2) e vetores geradores vec u = (3,4)-(1,2) = (2,2) e vec v = (4,3)-(1,2) = (3,1). Assim definimos a parametrização
x = 1 + 2s + 3t, y = 2 + 2s + t,
com s,tin[0,1].

Passo 3

O jacobiano da transformação (s,t)mapsto(x,y) é dado por
J = det2 & 3 2 & 1 = 2cdot1 - 3cdot2 = -4,
logo |J|=4. Esse valor indica o fator de escala de área entre (s,t) e (x,y).

Passo 4

Substituímos f(x,y)=x-y em termos de s e t:
x - y = l(1 + 2s + 3tr) - l(2 + 2s + tr) = -1 + 2t

Passo 5

A integral dupla sobre D vira
integral duplaD (x - y),dA = integral0^1!!integral0^1 (-1 + 2t),lvert Jrvert , dt,ds = 4 integral0^1!!integral0^1 (-1 + 2t), dt, ds

Passo 6

Agora calculamos a integral interna:
integral0^1(-1 + 2t), dt = l[-t + t^2r]0^1 = -1 + 1 = 0
Como isso vale zero, toda a integral fica zero.

Resposta

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