Em cada item abaixo marque com um X a alternativa correta, em que C, D e I indicam “converge”, “diverge” e “inconclusivo”, respectivamente.
Suponha que a série de potências
convirja quando
e divirja quando
. Podemos afirmar que:
(a) A série
C D
(b) A série
C D
(c) A série
C D I
(d) A série
C D
(e) A série
C D
(a) A série
(b) A série
(c) A série
(d) A série
(e) A série
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
e informa duas coisas:
- A série converge quando
. - A série diverge quando
.
Pede-se, para cada item (a) a (e), marcar se a série indicada converge (C), diverge (D) ou se é inconclusivo com a informação dada (I).
Passo 2
Identifiquemos o centro da série e o conceito que vamos usar. A série é centrada em
(porque aparece
). Para uma série de potências centrada em
existe um número chamado raio de convergência
com a propriedade:
e os pontos com
(os extremos) podem convergir ou divergir — aí a informação é inconclusiva. Essa é a definição padrão do raio de convergência.
Passo 3
Use as duas informações do enunciado para obter desigualdades envolvendo
.
-
Como a série converge em
, calcule a distância do ponto ao centro: . Convergência num ponto com implica que (se fosse menor que , então pontos com distância estariam fora do disco de convergência, o que contradiz a convergência observada). -
Como a série diverge em
, calcule a distância: . Divergência num ponto com implica que não pode ser , porque se todo ponto com distância estaria dentro do disco e, portanto, a série teria de convergir aí. Então isso dá .
Combinando:
Isso significa que qualquer ponto com
está definitivamente dentro do raio (converge), qualquer ponto com
está definitivamente fora do raio (diverge), e para distâncias entre
e
(inclusive os extremos) pode haver dúvida.
Passo 4
Estratégia prática para cada item: cada série dada tem a forma
. Quando
é
vezes uma constante elevada a
, isto corresponde a avaliar a série original em um
tal que
é essa constante. Mais precisamente, se a série dada é
então é exatamente a série original avaliada no ponto
com
. Assim vamos:
- achar o valor de
associado a cada item, - calcular a distância
(que é ), - comparar
com o intervalo para decidir C, D ou I.
Também, se a série se decompõe em soma de duas séries, usamos que a soma de duas séries convergentes é convergente; e para séries geométricas usamos o teste geométrico: a série
converge se e somente se
.
Passo 5
A série é
. Isso corresponde à série original com
, ou seja
. A distância ao centro é
.
Compare com
: sabemos que
, e
, portanto
. Logo o ponto está fora do disco de convergência para qualquer
compatível com os dados, então a série diverge.
Conclusão item (a): D.
Passo 6
A série é
. Podemos reescrever
. Isso corresponde à série original com
, ou seja
. A distância é
.
Compare com
: temos
. O valor
pode ser menor que
(por exemplo se
) — então a série poderia convergir — ou pode ser maior que
(por exemplo se
) — então a série poderia divergir. Portanto com a informação disponível é impossível decidir: é inconclusivo.
Conclusão item (b): I.
Passo 7
A série é
. Separe em duas séries:
- A primeira é
, isto é a série original com (porque ), ou seja . A distância é . Como , temos , logo garante que esse ponto está estritamente dentro do disco de convergência; portanto a primeira série converge.
(Explicando o passo: temos
, logo qualquer
está certamente dentro do raio.)
- A segunda série é uma série geométrica com razão
. Pelo teste da série geométrica, converge se . Aqui , então converge.
Como cada uma das duas séries separadas converge, a soma (que é a série do item) também converge.
Conclusão item (c): C.
Passo 8
A série é
. Isso corresponde a
, ou
. A distância é
.
Compare com
: sabemos apenas
. O valor
pode ficar dentro do raio (se, por exemplo,
ou
) e então a série convergiria; ou pode ficar fora (se
ou
) e então a série divergiria. Não podemos decidir com a informação dada. Logo é inconclusivo.
Conclusão item (d): I.
Passo 9
A série é
. Isso corresponde a
, ou seja
. A distância é
.
Como
, esse ponto está estritamente dentro do disco de convergência, então a série converge.
Conclusão item (e): C.
Resposta
(a) D
(b) I
(c) C
(d) I
(e) C
(b) I
(c) C
(d) I
(e) C