Em cada item abaixo marque com um X a alternativa correta, em que C, D e I indicam “converge”, “diverge” e “inconclusivo”, respectivamente.
Suponha que a série de potências \sum_{k} a_{k}(x+2)^{k} convirja quando x=-4 e divirja quando x=-7. Podemos afirmar que:
(a) A série \sum_{k} 6^{k} a_{k} C D
(b) A série \sum_{k}(-1)^{k} 4^{k} a_{k} C D
(c) A série \sum_{k}\left[(-1)^{k} a_{k}+\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\right] C D I
(d) A série \sum_{k} 3^{k} a_{k} C D
(e) A série \sum_{k} a_{k} C D

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências \sum_{k} a_{k}(x+2)^{k} e informa duas coisas:
  • A série converge quando x=-4.
  • A série diverge quando x=-7.
Pede-se, para cada item (a) a (e), marcar se a série indicada converge (C), diverge (D) ou se é inconclusivo com a informação dada (I).

Passo 2

Identifiquemos o centro da série e o conceito que vamos usar. A série é centrada em -2 (porque aparece (x+2)^k). Para uma série de potências centrada em c=-2 existe um número chamado raio de convergência R com a propriedade:
\text{a série converge para todo }x\text{ com }|x+2|<R,é
\text{a série diverge para todo }x\text{ com }|x+2|>R,é
e os pontos com |x+2|=R (os extremos) podem convergir ou divergir — aí a informação é inconclusiva. Essa é a definição padrão do raio de convergência.

Passo 3

Use as duas informações do enunciado para obter desigualdades envolvendo R.
  • Como a série converge em x=-4, calcule a distância do ponto ao centro: |-4+2|=2. Convergência num ponto com |x+2|=2 implica que R\ge 2 (se R fosse menor que 2, então pontos com distância 2 estariam fora do disco de convergência, o que contradiz a convergência observada).
  • Como a série diverge em x=-7, calcule a distância: |-7+2|=5. Divergência num ponto com |x+2|=5 implica que não pode ser R>5, porque se R>5 todo ponto com distância 5 estaria dentro do disco |x+2|<R e, portanto, a série teria de convergir aí. Então isso dá R\le 5.
Combinando:
2 \le R \le 5.
Isso significa que qualquer ponto com |x+2|<2 está definitivamente dentro do raio (converge), qualquer ponto com |x+2|>5 está definitivamente fora do raio (diverge), e para distâncias entre 2 e 5 (inclusive os extremos) pode haver dúvida.

Passo 4

Estratégia prática para cada item: cada série dada tem a forma \sum_k b_k. Quando b_k é a_k vezes uma constante elevada a k, isto corresponde a avaliar a série original em um x tal que x+2 é essa constante. Mais precisamente, se a série dada é \sum_k c^{k} a_k então é exatamente a série original avaliada no ponto x com x+2=c. Assim vamos:
  • achar o valor de c=x+2 associado a cada item,
  • calcular a distância |c| (que é |x+2|),
  • comparar |c| com o intervalo [2,5] para decidir C, D ou I.
Também, se a série se decompõe em soma de duas séries, usamos que a soma de duas séries convergentes é convergente; e para séries geométricas usamos o teste geométrico: a série \sum_{k} r^{k} converge se e somente se |r|<1.

Passo 5

A série é \sum_{k}6^{k} a_{k}. Isso corresponde à série original com x+2=6, ou seja x=4. A distância ao centro é |x+2|=|6|=6.
Compare com R: sabemos que R\le 5, e 6>5, portanto 6>R. Logo o ponto está fora do disco de convergência para qualquer R compatível com os dados, então a série diverge.
Conclusão item (a): D.

Passo 6

A série é \sum_{k}(-1)^{k}4^{k} a_{k}. Podemos reescrever (-1)^{k}4^{k}=( -4)^{k}. Isso corresponde à série original com x+2=-4, ou seja x=-6. A distância é |x+2|=|-4|=4.
Compare com R: temos 2\le R\le5. O valor 4 pode ser menor que R (por exemplo se R=5) — então a série poderia convergir — ou pode ser maior que R (por exemplo se R=3) — então a série poderia divergir. Portanto com a informação disponível é impossível decidir: é inconclusivo.
Conclusão item (b): I.

Passo 7

A série é \sum_{k}\big[(-1)^{k} a_{k}+\big(\tfrac{1}{2}\big)^{k}\big]. Separe em duas séries:
\sum_{k}(-1)^{k} a_{k}\quad\text{e}\quad \sum_{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}.
  • A primeira é \sum a_k(-1)^k, isto é a série original com x+2=-1 (porque (-1)^k=( -1)^k), ou seja x=-3. A distância é |x+2|=|-1|=1. Como 1<2\le R, temos 1<R, logo 1<R garante que esse ponto está estritamente dentro do disco de convergência; portanto a primeira série converge.
(Explicando o passo: temos R\ge2, logo qualquer |x+2|<2 está certamente dentro do raio.)
  • A segunda série é uma série geométrica com razão r=\tfrac{1}{2}. Pelo teste da série geométrica, \sum_{k} r^{k} converge se |r|<1. Aqui |\tfrac{1}{2}|<1, então \sum_{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} converge.
Como cada uma das duas séries separadas converge, a soma (que é a série do item) também converge.
Conclusão item (c): C.

Passo 8

A série é \sum_{k}3^{k} a_{k}. Isso corresponde a x+2=3, ou x=1. A distância é |x+2|=|3|=3.
Compare com R: sabemos apenas 2\le R\le5. O valor 3 pode ficar dentro do raio (se, por exemplo, R=4 ou R=5) e então a série convergiria; ou pode ficar fora (se R=2{,}5 ou R=2) e então a série divergiria. Não podemos decidir com a informação dada. Logo é inconclusivo.
Conclusão item (d): I.

Passo 9

A série é \sum_{k} a_{k}. Isso corresponde a x+2=1, ou seja x=-1. A distância é |x+2|=|1|=1.
Como 1<2\le R, esse ponto está estritamente dentro do disco de convergência, então a série converge.
Conclusão item (e): C.

Resposta

(a) D
(b) I
(c) C
(d) I
(e) C

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