Deduza uma transformação que converta o triângulo de vértices
e
em um triângulo retângulo com o ângulo reto ocorrendo na origem do sistema
.
Passo 1
O problema pede: deduzir uma transformação que converta o triângulo de vértices
num triângulo retângulo cujo ângulo reto ocorra na origem do sistema
.
Informações dadas: os três vértices do triângulo original são ,
e
. Não há mais dados adicionais; a transformação desejada deve enviar esses três pontos para três pontos que formem um triângulo retângulo com o ângulo reto em
no plano
.
Informações dadas: os três vértices do triângulo original são
Passo 2
Ideia de construção (explicada passo a passo): é natural usar uma transformação afim composta de uma translação para colocar um vértice na origem e uma transformação linear para alinhar os dois lados que partem desse vértice com os eixos
e
. Ou seja, vamos procurar uma transformação da forma
onde
é o vértice que vamos mandar para a origem e
é uma matriz
que envia os dois vetores das arestas adjacentes a esse vértice para vetores colineares com os eixos (por exemplo
e
). Essa construção garante que o ângulo entre essas duas arestas torne-se reto na origem em
.]
Passo 3
Escolha do vértice a ser levado à origem e cálculo dos vetores das arestas: vou escolher o vértice
para ser levado à origem — isso é conveniente porque os outros dois vértices ficam simples em relação a ele. Os vetores das arestas que partem de
são
Queremos uma matriz
tal que
e
. Com essa escolha os três vértices serão enviados para
,
e
, que formam um triângulo retângulo com o ângulo reto na origem.]
Passo 4
Montagem da matriz dos vetores e cálculo da matriz
. Colocamos
e
como colunas da matriz
A condição
e
pode ser escrita como
onde
é a matriz identidade. Portanto
Calculamos
. O determinante de
é
Para uma matriz
a inversa é dada por trocar os elementos da diagonal, mudar o sinal dos off-diagonais e dividir por
. Assim
Passo 5
Escrevendo a transformação afim explicitamente. Tomando o vértice de translação
e
, obtemos
Expandindo as componentes:
Passo 6
Verificação rápida (essencial para a prova): aplicar a transformação aos três vértices originais:
Os pontos imagem são
, que formam um triângulo retângulo com o ângulo reto em
. A transformação é inversível (pois
), então é válida.]