Deduza uma transformação que converta o triângulo de vértices (1,0),(6,0) e (3,8) em um triângulo retângulo com o ângulo reto ocorrendo na origem do sistema u v.

Passo 1

O problema pede: deduzir uma transformação que converta o triângulo de vértices (1,0),(6,0),(3,8) num triângulo retângulo cujo ângulo reto ocorra na origem do sistema u v.
Informações dadas: os três vértices do triângulo original são (1,0), (6,0) e (3,8). Não há mais dados adicionais; a transformação desejada deve enviar esses três pontos para três pontos que formem um triângulo retângulo com o ângulo reto em (0,0) no plano uv.

Passo 2

Ideia de construção (explicada passo a passo): é natural usar uma transformação afim composta de uma translação para colocar um vértice na origem e uma transformação linear para alinhar os dois lados que partem desse vértice com os eixos u e v. Ou seja, vamos procurar uma transformação da forma
\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix}=A\left(\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x_0\\[4pt]y_0\end{pmatrix}\right),
onde \big(x_0,y_0\big) é o vértice que vamos mandar para a origem e A é uma matriz 2\times2 que envia os dois vetores das arestas adjacentes a esse vértice para vetores colineares com os eixos (por exemplo (1,0) e (0,1)). Essa construção garante que o ângulo entre essas duas arestas torne-se reto na origem em uv.]

Passo 3

Escolha do vértice a ser levado à origem e cálculo dos vetores das arestas: vou escolher o vértice (1,0) para ser levado à origem — isso é conveniente porque os outros dois vértices ficam simples em relação a ele. Os vetores das arestas que partem de (1,0) são
\begin{aligned} \mathbf{v}_1 &= (6,0)-(1,0) = (5,0),\\[4pt] \mathbf{v}_2 &= (3,8)-(1,0) = (2,8). \end{aligned}
Queremos uma matriz A tal que A\mathbf{v}_1=(1,0) e A\mathbf{v}_2=(0,1). Com essa escolha os três vértices serão enviados para (0,0), (1,0) e (0,1), que formam um triângulo retângulo com o ângulo reto na origem.]

Passo 4

Montagem da matriz dos vetores e cálculo da matriz A. Colocamos \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 como colunas da matriz
V=\begin{pmatrix}5 & 2\\[4pt]0 & 8\end{pmatrix}.
A condição A\mathbf{v}_1=(1,0) e A\mathbf{v}_2=(0,1) pode ser escrita como
A\,V = I_{2},
onde I_2 é a matriz identidade. Portanto
A = V^{-1}.
Calculamos V^{-1}. O determinante de V é
\det(V)=5\cdot 8 - 0\cdot 2 = 40.
Para uma matriz 2\times2 a inversa é dada por trocar os elementos da diagonal, mudar o sinal dos off-diagonais e dividir por \det. Assim
V^{-1}=\frac{1}{40}\begin{pmatrix}8 & -2\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/5 & -1/20\\[4pt]0 & 1/8\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrevendo a transformação afim explicitamente. Tomando o vértice de translação \begin{pmatrix}x_0\\[4pt]y_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e A=V^{-1}, obtemos
\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/5 & -1/20\\[4pt]0 & 1/8\end{pmatrix} \left(\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right).
Expandindo as componentes:
\begin{aligned} u &= \dfrac{x-1}{5} - \dfrac{y}{20},\\[6pt] v &= \dfrac{y}{8}. \end{aligned}]

Passo 6

Verificação rápida (essencial para a prova): aplicar a transformação aos três vértices originais:
\begin{aligned} (1,0) &\mapsto \big(0,0\big) \quad\text{(porque \(x-1=0\) e \(y=0\))},\\[4pt] (6,0) &\mapsto \Big(\dfrac{6-1}{5}-\dfrac{0}{20},\,\dfrac{0}{8}\Big)= (1,0),\\[6pt] (3,8) &\mapsto \Big(\dfrac{3-1}{5}-\dfrac{8}{20},\,\dfrac{8}{8}\Big)=\big(0,1\big). \end{aligned}
Os pontos imagem são (0,0),(1,0),(0,1), que formam um triângulo retângulo com o ângulo reto em (0,0). A transformação é inversível (pois \det(V)\neq 0), então é válida.]

Resposta

u=\dfrac{x-1}{5}-\dfrac{y}{20}
v=\dfrac{y}{8}

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