Passe para coordenadas polares
e colocar os limites de integração para as novas variáveis nas seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede: passar cada uma das três integrais para coordenadas polares
e colocar os limites de integração nas novas variáveis. As três integrais são:
As informações dadas são apenas essas integrais; para cada uma preciso:
- identificar a região
no plano definida pelos limites das integrais; - escrever a mudança
e o fator de Jacobiano; - obter os limites em
e reescrever a integral.
Passo 2
Primeira coisa: revisar a mudança para coordenadas polares (aulas rápidas e essenciais).
Definição e relações básicas:
onde
e
é o ângulo com o eixo
positivo (em radianos). Geometricamente,
é a distância ao origem e
é o ângulo do raio.
Jacobian (por que aparece um
a mais):
A área elementar em coordenadas cartesianas transforma-se em coordenadas polares como
A área elementar em coordenadas cartesianas
Isto vem do determinante da matriz de derivadas parciais
. Na prática: sempre que trocar
por
, multiplica-se por
.
Como achar limites:
- Desenhe mentalmente (ou no rascunho) a região
. - Converta as curvas borda de
em equações em usando e . - Para cada ângulo
relevante, determine valores de entre a curva interna e a externa (ou 0 até uma curva), e determine o intervalo de .
Agora aplico isso em cada integral.
Passo 3
-
Região
: é o quadrado no primeiro quadrante (um quadrado de lado ). -
Bordas em coordenadas polares:
- eixo
é (mas dentro do quadrado vai de a ); - retas
e dão, em polares,
Para uma dada
,
deve satisfazer ambas as desigualdades
e
. Logo
- Determinar como escrever
de forma prática: note que em a função é para e é para . Portanto podemos dividir em dois pedaços:
- para
: ; - para
: a min é .
- Integrando: trocar
por e vira . Assim a integral vira a soma de dois integrais (por causa da divisão em ):
para
:
.
para
:
.
Escrevendo:
(Isto é equivalente à forma com
nas cotas de
.)
Passo 4
-
Região
: e . É um triângulo no primeiro quadrante com vértices ; a hipotenusa é a reta . -
Bordas em polares:
- reta
corresponde a ; - reta vertical
dá ; - limite inferior
corresponde a (e inclui o raio sobre o eixo ).
-
Para
percorrendo do eixo até a reta , ou seja , o vai de até onde a reta vertical corta o raio, isto é . -
Simplificação do integrando: a função é
. Em polares . Logo o integrando fica . Não esquecer o Jacobiano . -
Resultado:
Passo 5
-
Região
: ponto com e . Geometricamente é a região entre a parábola (aberta para cima) e a reta horizontal , limitada em pelos pontos de intersecção e . A parábola tem vértice em . Observação importante: a região está inteiramente em , logo ficará entre e . -
Converter as curvas para polares:
- reta
dá (válido quando , i.e. ); - parábola
torna-se
Se
temos origem (ponto da parábola). Para
podemos dividir por
e obter
desde que
.
-
Interseção parabola com reta
: resolver com dá . Em polares esses pontos correspondem a (para ) e (para ), ambos com . Esses ângulos dividem a parte superior em três setores: , , . -
Determinar limites de
em cada setor:
- Para
: ao lançar o raio, primeiro encontra-se a parábola (em ) e depois a reta (em ). Assim o que corresponde à região entre parábola e é
- Para
: o raio parte da origem e antes que atinja a parábola já atinge ; na prática a parábola, vista ao longo desses , está mais longe que a reta . Logo o segmento dentro da região vai de até :
- Para
: simétrico ao caso ; o raio primeiro corta a parábola, depois a reta . Portanto
(Obs.: quando
em
a fórmula
é singular — nesse ângulo a parábola passa apenas pela origem; o tratamento por partes acima inclui esse caso corretamente: no intervalo central o limite inferior é
.)
- Transformação do integrando:
. Em coordenadas polares
para pontos onde
(na região
isso é válido). Assim o integrando se transforma em
, ou seja não depende de
.
- Colocando tudo junto (lembrando do fator
do Jacobiano): a integral fica soma de três integrais em -faixas:
Observação prática: como
não depende de
, é comum avaliar a integral em
explicitamente (ficaria
nas cotas), mas o enunciado só pediu os limites e a expressão em coordenadas polares, então deixei na forma dupla com o integrando transformado e o
do Jacobiano.
Resposta
[
\int_{-1}{1}!\int_{x{2}}^{1} f!\big(\tfrac{x}{y}\big),dy,dx
\int_{0}{\tfrac{\pi}{4}}!\int_{\tfrac{\sin\theta}{\cos{2}\theta}}^{\tfrac{1}{\sin\theta}}
f(\cot\theta), r,dr,d\theta
+
\int_{\tfrac{\pi}{4}}{\tfrac{3\pi}{4}}!\int_{0}{\tfrac{1}{\sin\theta}}
f(\cot\theta), r,dr,d\theta
+
\int_{\tfrac{3\pi}{4}}{\pi}!\int_{\tfrac{\sin\theta}{\cos{2}\theta}}^{\tfrac{1}{\sin\theta}}
f(\cot\theta), r,dr,d\theta]
f(\cot\theta), r,dr,d\theta
+
\int_{\tfrac{\pi}{4}}{\tfrac{3\pi}{4}}!\int_{0}{\tfrac{1}{\sin\theta}}
f(\cot\theta), r,dr,d\theta
+
\int_{\tfrac{3\pi}{4}}{\pi}!\int_{\tfrac{\sin\theta}{\cos{2}\theta}}^{\tfrac{1}{\sin\theta}}
f(\cot\theta), r,dr,d\theta]